重难点01 数列-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 01   数列

【高考考试趋势】

新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。

【高考常见题型分类总结】

通项公式的求法

1、累加法（叠加法）

若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。

2、累乘法（叠乘法）

若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。

3、由数列的前n项和与的关系求通项公式

若已知数列的前n项和，则不论数列是否为等差数列或等比数列，当时，都有，可利用公式求通项。

4、构造新数列

对于的形式，主要是利用的形式进行转化；

对于 ，主要采用的形式进行转化运算；

对于 一般采用转化成的形式进行转化运算。

对于求和问题

1、裂项求和形如的形式一般采用裂项的形式，注意前面的此系数，是由。

2、错位相减求和问题，本专题题目中有出现。

3、分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题。

【限时检测】（建议用时：50分钟）

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟（理））等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】

首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.

【详解】

在等比数列中，设公比，

当时，有，，成等差数列，

所以，即，解得，

所以，所以，

，当且仅当时取等号，

所以当或时，取得最小值1，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.

2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和，则的值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】

利用计算．

【详解】

由已知．

故选：C．

3．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（    ）

A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n

C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n

【答案】D

【分析】

利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，

所以由题设得，

两式相除得1+q3=9，解得q=2，

进而可得a1=1，

所以an=a1qn-1=2n-1，

所以nan=n×2n-1.

设数列{nan}的前n项和为Tn，

则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，

2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，

两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，

故Tn=1+(n-1)×2n.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.

4．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足，，则数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.

【详解】

已知数列满足，，

在等式两边同时取倒数得，，

所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，，

，

因此，.

故选：B.

【点睛】

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

5．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【分析】

转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.

【详解】

因为，所以，

又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，

所以，所以，

令，解得，

所以，其余各项均大于0，

所以.

故选：A.

【点睛】

解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足的项，即可得解.

6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（    ）

A．是等差数列 B． C． D．是等比数列

【答案】C

【分析】

由代入得出的递推关系，得证是等差数列，可判断A，求出后，可判断B，由的值可判断C，求出后可判断D．

【详解】

时，因为，所以，所以，

所以是等差数列，A正确；

，，公差，所以，所以，B正确；

不适合，C错误；

，数列是等比数列，D正确．

故选：C．

【点睛】

易错点睛：本题考查由数列的前项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，

在公式中，不包含，因此由求出的不包含，需要特别求解检验，否则易出错．

7．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（   ）

A．16 B．64 C．128 D．256

【答案】B

【分析】

利用等比数列的前项和公式求出，观察等比数列的各项的值及其规律，从而可求出前项之积的最大值.

【详解】

由，，得，解得，

所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了利用等比数列的前项和公式求基本量的运算，等比数列的各项的积的最值问题，属创新题.

8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足，则（    ）

A．1024 B．1101 C．1103 D．1128

【答案】B

【分析】

由数列的递推关系得出之间的关系，然后计，可归纳出与的关系得的表达式，从而可计算．

【详解】

因为数列满足，

所以，，

，

，，，…，，

设，

所以，

又，所以，，，，，

所以，，，即，

所以．

故选：B．

【点睛】

本题考查由递推公式求数列的和，解题时需寻找规律，解题关键是记，然后通过项的关系得的关系，从而得出的表达式，然后可求数列的某些和．

二、填空题

9．（2021·全国高三其他模拟（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．

【答案】.

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

详解：设等比数列的公比为，由已知

，即

解得，

所以．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．

10．（2021·山东高三专题练习）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．

【答案】

【分析】

根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．

【详解】

因为，所以．

即．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．

11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为__________．

【答案】

【解析】

根据题意，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ， ，对于数列 满足 ，则有，数列的通项为： ，分析可得：当 时，数列取得最大值，此时 ；故答案为．

点睛: 根据题意，由等差数列的通项公式可得数列 的通项公式，进而对于数列 ，由 ，计算可得数列 的通项公式，即可得数列的通项，结合数列的性质分析可得当 时，数列取得最大值，计算即可得答案．

12．（2021·全国高三其他模拟（文））若正项数列满足,则称数列为D型数列,以下4个正项数列满足的递推关系分别为:①  ② ③ ④，则D型数列的序号为_______.

【答案】①②③④

【分析】

根据D型数列的定义,逐个判断正项数列是否满足即可.

【详解】

对①,因为,且正项数列.

故,故.所以成立.

对②, ,

故成立.

对③, 成立

对④, .

故,成立.

综上, ①②③④均正确.

故答案为：①②③④

【点睛】

本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明.属于中等题型.

三、解答题

13．（2020·海南高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【分析】

(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

【详解】

(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，故：

.

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.

14．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【分析】

(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；

(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.

【详解】

(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

从而得：.

因此，.

所以，数列的前2n项和为.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.

15．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【分析】

（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.

（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.

【详解】

（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.

所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以（）.

所以，又，符合，

故.

（II）依题意设，由于，

所以，

故

.

又，而，

故

所以

.

由于，所以，所以.

即， .

【点睛】

本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.

16．（2020·四川资阳市·高三一模（理））已知数列的前项和为，且，；数列为等比数列，且，．

（1）求，；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）．；（2）.

【分析】

（1）由递推式可得，结合已知条件即可求，利用等比数列的通项公式求，，写出通项公式即可.

（2）由（1）结合错位相减法求的前项和．

【详解】

（1）时，由得，所以，

整理得，又，所以，

又，即有，得或（舍去），

所以是以为首项，公差为2的等差数列，则有．

设等比数列公比为，则，，解得，，则有．

（2）由（1）知，则①

∴②

①②

．

【点睛】

方法点睛：

1、由的递推关系式，结合确定或得到中项的关系，进而确定是否为等差或等比数列.

2、若已知公差、公比、项等条件，直接应用等差、等比的通项公式求基本量，写出通项公式即可.

3、由等差、等比数列组成的混合数列：一般考虑应用错位相减法求数列前n项和.

17．（2020·全国高三专题练习）在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，求证：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）若选条件①，，由数列的推式可得，从而得数列是以1为首项，3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求得的通项公式；

若选择②，设数列的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得方程，解之可得的通项公式；

若选择③，由得，当时，，两式相减可求得，从而求得的通项公式；

（2）由（1）得，运用裂项求和法可得证.

【详解】

（1）若选条件①，，，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，

所以；

若选择②，设数列的公差为d，则，

因为成等比数列，，解得或；

当时，，此时不能构成等比数列，所以，

所以，

若选择③，由得，当时，，

两式相减得，所以，当时，也适合上式，所以，

（2）由（1）得，

所以，

故

【点睛】

在由数列的求和公式求数列的通项公式时，注意检验的情况是否满足通项公式。证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标 ，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递 ．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和 ．