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    初中数学九年级竞赛讲义:第04讲-明快简捷—构造方程的妙用

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    初中数学九年级竞赛讲义:第04讲-明快简捷—构造方程的妙用

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    第四讲   明快简捷构造方程的妙用

    有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关,但是如果我们能构造一元二次方程,那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题,构造一元二次方程的常用方法是:

        1.利用根的定义构造

        当已知等式具有相同的结构,就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根.

        2.利用韦达定理逆定理构造

        若问题中有形如的关系式时,则可看作方程的两实根.

        3.确定主元构造

        对于含有多个变元的等式,可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

    成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的;成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果.

    注: 许多数学问题表面上看难以求解,但如果我们创造性地运用已知条件,以已知条件为素材,以所求结论为方向,有效地运用数学知识,构造出一种辅助问题及其数学形式,就能使问题在新的形式下获得简解,这就是解题中的构造策略,构造图形,构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法.

    例题求解

    【例1 已知是正整数,并且,则     

     

    思路点拨  ,变形题设条件,可视为某个一元二次方程两根,这样问题可从整体上获得简解.

     

     

     

    【例2 ,且有,则的值是(    )

      A       B      C      D

     

    思路点拨  第二个方程可变形为,这样两个方程具有相同的结构,从利用定义构造方程入手.

     

     

    【例3 已知实数满足,且,求的取值范围.

     

    思路点拨  由两个等式可求出的表达式,这样既可以从配方法入手,又能从构造方程的角度去探索,有较大的思维空间.

     

    【例4 已知实数满足

        (1)中最大者的最小值;

        (2)的最小值.

     

    思路点拨 不妨设abac,由条件得.构造以bc为实根的一元二次方程,通过△≥0探求的取值范围,并以此为基础去解(2)

     

     

     

     

     

    注: 构造一元二次方程,在问题有解的前提下,运用判别式△≥0,建立含参数的不等式,

    缩小范围逼近求解,在求字母的取值范围,求最值等方面有广泛的应用.

    【例5 试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数. (2003年全国初中数学联赛试题)

    思路点拨 设前后两个二位数分别为,则有,将此方程整理成关于()的一元二次方程,在方程有解的前提下,运用判别式确定 ()的取值范围.

     

     

    学历训练

    1.若方程的两个实数根的倒数和是,则的取值范围是     

    2.如图,在RtABC中,斜边AB5CDAB,已知BCAC是一元二次方程的两个根,则m的值是           

    3.已知满足,则=       

    4.已知,,则的值为(    )

    A2      B-2       C-1      D 0              

    5.已知梯形ABCD的对角线ACBD相交于点O,若SAOB4SCOD9,则四边形ABCD的面积S的最小值为(    )

    A21    B 25    C26    D 36               

    6.如图,菱形A6CD的边长是5,两条对角线交于O点,且AOBO的长分别是关于的方程的根,则m的值为(    )

      A.一3      B5    C5或一3    n53

     

     

    7.已知,其中为实数,求的值.

     

    8.已知是正整数,并且满足条件,求的值.

                                                       

    9.已知,其中mn为实数,则     

                                                        

    10.如果为互不相等的实数,且满足关系式,那么的取值范围是                               

    11.已知,则=      =      .;

    12.如图,在RtABC中,ACB90°ACbABc,若DE分别是ABAB延长线上的两点,BD=BCCECD,则以ADAE的长为根的一元二次方程是                                             

     

     

     

     

     

     

    13.已知均为实数,且,求的最小值.

    14.设实数满足,求的取值范围.

    15.如图,梯形ABCD中,ADBCADAB,梯形的高AE=,且

      (1)B的度数;

      (2)设点M为梯形对角线AC上一点,DM的延长线与BC相交于点F,当,求作以CFDF的长为根的一元二次方程.           

     

     

     

     

     

     

    16.如图,已知ABC和平行于BC的直线DE,且BDE的面积等于定值,那么当BDE之间满足什么关系时,存在直线DE,有几条?

     

     

     

    参考答案

     

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