第四讲　概率、随机变量及其分布列 学案

第四讲　概率、随机变量及其分布列

高考考点
考点解读
古典概型、几何概型及条件概率
1.考查古典概型、几何概型概率公式的应用
2．利用条件概率公式求概率
互斥事件、对立事件及独立事件
1.互斥事件、对立事件与古典概型相结合考查
2．相互独立事件同时发生的概率的求法．
离散型随机变量的分布列
1.超几何分布
2．与相互独立事件有关的分布列和均值问题
3．独立重复试验和二项分布
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)切实掌握随机变量的概念、掌握随机事件的概率、古典概型、几何概型等概率的求法．
(2)掌握离散型随机变量的分布列、期望、方差的求法；掌握条件概率的求法、二项分布、超几何分布及其概率的求法．
预测2020年命题热点为：
(1)古典概型、几何概型、条件概率的概率公式的应用．
(2)离散型随机变量的分布列、均值及方差的计算．
(3)相互独立事件、二项分布、超几何分布与实际问题的交汇问题．

Z
1．随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1;_必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率
P(A)＝.
(3)几何概型的概率
P(A)＝
.
2．互斥事件与对立事件
(1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件．
(2)如果事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
(3)在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()＝1－P(A).
3．条件概率
在事件A发生的条件下事件B发生的概率：
P(B|A)＝.
4．相互独立事件同时发生的概率
若A，B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B).
5．独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
6．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.
7．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表：
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的分布列．
(2)EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)，反应X的平均水平．
(3)D(X)＝ 为随机变量X的方差．
叫标准差，它们均反映X的离散程度．
8．正态分布
正态曲线的定义：函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
重要公式与性质
1．离散型随机变量X的分布列具有两个性质
①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)．
2．期望与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)；
(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；
(3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
3．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

4．正态分布的三个常用数据
P(μ－σ