黄金卷04-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第四模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·全国高三月考（理））已知复数，则的值（    ）A．0 B． C．2 D．1【答案】C【详解】，，则．故选：C．2．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））命题“，”的否定是（    ）A．，使得B．，使得C．，D．，【答案】B【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，使得”.故选：B.3．（2020·全国高三月考（文））已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．7【答案】A【详解】因为向量，所以，，，因为所以，即，解得．故选：A4．（2020·河南郑州市·高二期中（理））如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为（    ） A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】由条件可知，，……，数列是公差为1，首项为1的等差数列，， ，.故选：C5．（2020·全国高三月考（理））已知正实数，满足，则的最小值为（    ）A． B．25 C．24 D．【答案】A【详解】．当且仅当时取等.故选：A．6．（2020·河南高二月考（理））在中，内角、、的对边分别为、、，已知.，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，所以，因为，所以，所以即，所以，，所以，即，所以，所以,所以.故选：C.7．（2020·全国高三月考（理））已知、满足，则与的大小关系为（    ）A． B．C． D．不能确定【答案】C【详解】令，其中，则，当时，.所以，函数在区间上单调递增，，，即，即，即，可得，所以，.故选：C.8．（2020·小店区·山西大附中高二月考）在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（    ）A．点F的轨迹是一条线段 B．与BE是异面直线C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值【答案】C【详解】对于A中，设平面与直线交于点，连接，则为的中点，分别取的中点，连接，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为是平面内的相交直线，所以平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上的动点，所以A正确；对于B中，因为平面平面，和平面相交，所以与是异面直线，所以B正确；对于C中，由A知，平面平面，所以与不可能平行，所以C错误；对于D中，因为，又由，可得，平面，且平面，所以平面，则到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确.故选：C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高一期中）德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ）A． B．是奇函数C．的值域是 D．【答案】ACD【详解】由题意可知，.对于A选项，，则，A选项正确；对于B选项，当，则，则，当时，则，则，所以，函数为偶函数，B选项错误；对于C选项，由于，所以，函数的值域为，C选项正确；对于D选项，当时，则，所以，，当时，，所以，，D选项正确.故选：ACD.10．（2020·江苏海安市·高三期中）若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】分以下三种情况讨论：①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得.因此，的可能值为、、.故选：ABC.11．（2020·烟台市福山区教育局高三期中）已知函数，，则下列结论正确的有（    ）A．在区间上单调递减B．若，则C．在区间上的值域为D．若函数，且，在上单调递减【答案】ACD【详解】， ，当时，，由三角函数线可知，所以，即，所以，所以，所以在区间上单调递减，当，，，所以，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故选项A正确；当时，，所以，即，故选项B错误；由三角函数线可知，所以，，所以当时，，故选项C正确；对进行求导可得：所以有，所以，所以在区间上的值域为，所以，在区间上单调递增，因为，从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.故选：ACD.12．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有（    ）A．B．异面直线所成的角为定值C．点到平面的距离为定值D．三棱锥的体积是定值【答案】ACD【详解】由，可证平面，从而，故A正确；取特例，当E与重合时，F是，即，平行，异面直线所成的角是，当F与重合时，E是，即，异面直线所成的角是，可知与不相等，故异面直线所成的角不是定值，故B错误；连结交于，又平面，点到平面的距离是，也即点到平面的距离是，故C正确；为三棱锥的高，又，故三棱锥的体积为为定值，D正确.故选：ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）在中，，，那么_____；【答案】4【详解】解：因为在中，，所以，所以，因为，所以，故答案为：414．（2020·全国高二单元测试）夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.【答案】【详解】解析设事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知，，.故答案为：.15．（2020·广东盐田区·深圳外国语学校高三月考）设函数，，则函数零点的个数有______个.【答案】8【详解】解：时时的图象是由时的的图象向右平移1个单位得到，当时，,将其中(0,1]之间的一段向右平移1个单位得到上的图象，由的的图象逐次向右平移1个单位，得到在时的整个图象如图所示，注意在时，当时，.作出图像，由图象可得，共有8个公共点，即有8个零点.故答案为：8.16．（2020·湖北高二期中）若是数列的前项和，且，则______________【答案】        【详解】，则当时，，当时，，两式相减得，即，满足，，则，则，，.四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）如图，中的内角、、所对的边分别为、、，，且．（1）求（2）点在边的延长线上，且，求的长．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，，所以，在中，由正弦定理得：，所以，又，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）可得，在中，，由余弦定理可得：，即，即，解得：或（舍去），所以.18．（2020·海南高三其他模拟）设，，，给出以下四种排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列中的各项都为正数，，且__________依次成等差数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，求满足的最小正整数n．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.【详解】解：（解答一）选②或③：（Ⅰ）设的公比为q，则．由条件得，又因为，所以，即，解得（负值舍去）．所以．（Ⅱ）由题意得，则．由得，即，又因为，所以n的最小值为7．（解答二）选①或④：（Ⅰ）设的公比为q，则．由条件得，又因为，所以，即，解得（负值舍去）．所以．（Ⅱ）由题意得，则．由得，即，又因为，所以n的最小值为5．19．（2020·海口市第四中学高三月考）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人.（1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？ 平均车速超过平均车速不超过总计男性驾驶员   女性驾驶员   总计   附：，其中.（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）答案见解析，能；（2）；（3）答案见解析，.【详解】（1）完成的列联表如下： 平均车速超过平均车速不超过合计男性驾驶员401555女性驾驶员202545合计6040100，所以在犯错误概率不超过的前提下，能认为“平均车速超过与性别有关”.（2）平均车速不超过的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件，则事件所包含的基本事件数为，所以所求的概率.（3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故.所以；；；.所以的分布列为0123（或）.20．（2016·海南高三一模（理））如图，在四棱锥中，，，，，分别为线段的中点，平面．（1）求证：平面平面；（2）是否存在线段上一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得，，，又得平面，进而得结论；（2）设，可得平面的一个法向量为，再根据可解得.试题解析：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，，，，所以中点，则，，则，所以.又平面，所以，由，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）法一：设，则，，则，设平面的一个法向量为，，，所以，则，令，得，设 ，则，若平面，则，解得.法二：（略解）：连接延长与交于点，连接，若存在平面，则，证明即可.21．（2020·海南高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：和椭圆：，其中，，，的离心率分别为，，且满足，，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）与椭圆相切的直线交椭圆与点，，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意知，，因为，所以，，将等号两边同时平方，得，即，所以，又，所以，，所以，，所以直线的方程为，与椭圆：联立并消去，得，整理得，，所以，因为，所以，得，所以，椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，易得.当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆：联立并消去，得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得，将直线与椭圆方程联立并消去，得，由式可得.设，，则，，所以，设，则，，，所以当，即时，最大，且最大值为.22．（2020·海南高三一模）已知函数在上单调递减.（1）求实数的取值范围；（2）若存在非零实数，满足，，依次成等差数列.求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）根据题意，恒成立，即，设，则.令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以，即.故的取值范围为.（2）由题意得，因为单调递减，不妨设.设，则.设，则，所以单调递减，即单调递减.当时，，所以在上单调递增.因为，所以，即，整理可得.因为在上单调递减，所以，即.