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2019-2020学年八年级数学上册期末考点大串讲 专题13 一次函数的应用（专题测试）（原卷 解析版）
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专题13 一次函数的应用
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
2．（2018秋•吴兴区期末）已知y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，则y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018秋•东阳市期末）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＞kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2
4．（2018秋•杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
5．（2019•杭州模拟）已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．0＜x＜2
6．（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
7．（2019•南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（2019•萧山区模拟）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018秋•下城区期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+；④若s＝60，则b＝．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．（2018秋•上虞区期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（1，3），用信号枪沿直线y＝3x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是（ ）
A．﹣5≤b≤0 B．﹣5＜b≤﹣3 C．﹣5≤b≤3 D．﹣5≤b≤5
二、填空题
11．（2019•鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 ．
12．（2019•杭州模拟）已知直线y1＝kx+1（k＜0）与直线y2＝nx（n＞0）的交点坐标为（，n），则不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为 ．
13．（2018秋•嘉兴期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），则关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为 ．
14．（2019春•温岭市期末）若已知方程组的解是，则直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 ．
15．（2018秋•萧山区期末）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 米，小婷家离学校的距离为 米．
16．（2018秋•海曙区期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：
用水量（吨）
不超过17吨的部分
超过17吨不超过31吨的部分
超过31吨的部分
单位（元/吨）
3
5
7
设某户居民家的月用水量为x（x＞31）吨，应付水费为y元，则y关于x的函数表达式为 ．
三、解答题
17．（2018秋•西湖区期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解．
18．（2019•嘉善县模拟）【阅读材料】在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
【解决问题】已知直线l1的解析式是y＝x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是，请求出直线l2的解析式．
19．（2018秋•萧山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
20．（2019春•永嘉县月考）某水果批发市场，草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．
（1）若李心批发购买草莓，苹果共10箱，刚好花费520元，则他购买草莓、苹果各多少箱？
（2）李心有甲，乙两个店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓，苹果两种水果合计30箱，并且每售出
一箱草莓和苹果，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．现在，李心要将批发购进的35箱草莓，25箱苹果分配给每个店铺各30箱．
设分配给甲店草莓x箱．
①根据信息填表：
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30
乙店
30
②设李心获取的总毛利润为W元，
（1）求W与x的函数关系式；
（2）若在保证乙店铺获得毛利润不少于950元的前提下，应怎样分配水果，使总毛利润W最大，最大的总毛利润是多少元？
21．（2018秋•滨江区期末）已知A，B两地相距60km，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地．设行驶时间为x（h），甲、乙离开A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与x（h）的关系如图所示．
（1）分别求出线段OD，EF所在直线的函数表达式．
（2）试求点F的坐标，并说明其实际意义．
（3）乙在行驶过程中，求两人距离超过6km时x的取值范围．
22．（2019•萧山区模拟）在平面直角坐标系中，函数y1＝ax+b（a、b为常数，且ab≠0）的图象如图所示，y2＝bx+a，设y＝y1•y2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若点（1，4）在函数y的图象上，求函数y的表达式；
②若点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象上，且|x|，比较p，q的大小；
（2）若函数y的图象与x轴交于（m，0）和（n，0）两点，则求证：m＝．
专题13 一次函数的应用答案及解析
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
【点拨】根据已知两点判断符合条件的x、y的范围，﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，结合答案即可；
【解析】解：过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线，与它交点在第三象限，
∴﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，
只有y＝﹣4符合条件，
故选：D．
【点睛】本题考查平面内点的坐标的特点；能够由两点判断出所要求的x、y的范围是解题的关键．
2．（2018秋•吴兴区期末）已知y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，则y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，即可得到k的值，进而得出该直线经过第一二四象限．
【解析】解：∵y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，
∴k＝﹣2，
∴该直线解析式为y＝﹣2x+4，
∴该直线从左往右下降，与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一二四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当b＞0，图象与y轴的正半轴相交；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的负半轴相交．
3．（2018秋•东阳市期末）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＞kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2
【点拨】根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解．
【解析】解：观察函数图象可知：当x＞﹣1时，直线y＝4x+2在直线y＝kx+b的上方，
∴不等式4x+2＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
4．（2018秋•杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【点拨】以交点为分界，结合图象写出不等式mx＞x+3的解集即可．
【解析】解：∵函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），
∴不等式mx＞x+3的解集为x＜﹣1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．
5．（2019•杭州模拟）已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．0＜x＜2
【点拨】将点（）代入y1＝kx+1，得出m＝k+1，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．
【解析】解：∵一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象过点（），
∴m＝k+1，
∴m＝k+2，
∴不等式组即为，
解得＜x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式组的解法．得出m＝k+2是解题的关键．
6．（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【点拨】由图象可知，一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【解析】解：∵一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．（2019•南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【点拨】由图可知Q点为迎面相遇点；点M处甲到达终点．从而先求出相遇时乙走的路程，然后用全程300千米减去乙走的路程，得甲走的路程，再除以甲走的时间，从而得甲的速度，从而可知点P坐标，从而排除选项A和B，再求出QM的解析式，从而排除C，得正确答案为D．
【解析】解：由图可知Q点为迎面相遇点，坐标为（4，0），从而此时甲走了4小时，乙走了3小时，则乙走了20×3＝60（千米），甲走了300﹣60＝240（千米），
∴甲的速度为：240÷4＝60（千米/时），300﹣60＝（240千米）
∴点P坐标为（1，240）故②正确，排除选项A、B；
由图象可知点M处甲到达终点，300÷60＝5（小时），20×4＝80（千米），
故点M坐标为：（5，80）；
设QM解析式为：y＝kx+b，把点Q（4，0）和M（5，80）代入得：
解得
∴y＝80x﹣320，
故③错误．故排除C．
综上所述，只有D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用能力，根据题意弄清图象的实际意义是解题的基础和关键．分析出点Q点M为什么位置至关重要．
8．（2019•萧山区模拟）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据题意和函数图象中的数据可以计算出出各个选项中的量，从而可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0；
甲的速度是：120÷（3﹣1）＝60km/h，乙的速度是：80÷3＝，即乙出发1小时后两人距离为；
设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60（x﹣1）＝x，得x＝1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h．
所以符合题意的函数图象只有选项B．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．（2018秋•下城区期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+；④若s＝60，则b＝．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【点拨】①利用速度＝路程÷时间可求出两车的速度差，结合快车的速度即可求出a值，结论①正确；②利用时间＝两车之间的距离÷两车速度差可得出b值，由s不确定可得出b值不确定，结论②不正确；③利用两车第二次相遇的时间＝快车转向时的时间+两车之间的距离÷两车的速度之和可得出c值，结论③正确；④由②的结论结合s＝60可得出b值，结论④正确．综上，此题得解．
【解析】解：①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），
∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；
②两车第一次相遇所需时间＝（h），
∵s的值不确定，
∴b值不确定，结论②不正确；
③两车第二次相遇时间为b+2+＝b+（h），
∴c＝b+，结论③正确；
④∵b＝，s＝60，
∴b＝，结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
10．（2018秋•上虞区期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（1，3），用信号枪沿直线y＝3x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是（ ）
A．﹣5≤b≤0 B．﹣5＜b≤﹣3 C．﹣5≤b≤3 D．﹣5≤b≤5
【点拨】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论．
【解析】解：∵直线y＝3x+b中k＝3＞0，
∴此直线必然经过一三象限．
∵B（2，1）、C（1，3），
∴当经过点B时，6+b＝1，解得b＝﹣5；
当经过点C时，3+b＝3，解得b＝0，
∴﹣5≤b≤0．
故选：A．
【点睛】此题主要考查是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
二、填空题
11．（2019•鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 x＝2 ．
【点拨】依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解．
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），
∴，
解得，
∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3，
解得x＝2，
故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
12．（2019•杭州模拟）已知直线y1＝kx+1（k＜0）与直线y2＝nx（n＞0）的交点坐标为（，n），则不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为 ．
【点拨】由nx﹣3＜（n﹣3）x+1，即可得到x＜；由（n﹣3）x+1＜nx，即可得到x＞，进而得出不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集．
【解析】解：把（，n）代入y1＝kx+1，可得
n＝k+1，
解得k＝n﹣3，
∴y1＝（n﹣3）x+1，
令y3＝nx﹣3，则
当y3＜y1时，nx﹣3＜（n﹣3）x+1，
解得x＜；
当kx+1＜nx时，（n﹣3）x+1＜nx，
解得x＞，
∴不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13．（2018秋•嘉兴期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），则关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为 x＞1 ．
【点拨】观察函数图象得到即可．
【解析】解：由图象可得：当x＞﹣2时，kx+b＞0，
所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为x﹣3＞﹣2，
即：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（2019春•温岭市期末）若已知方程组的解是，则直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【点拨】根据一次函数与二元一次方程组的关系求解．
【解析】解：∵方程组的解是，
∴直线y＝kx﹣b与直线y＝﹣x+a的交点坐标为（﹣1，3），
∴直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是（﹣1，﹣3）
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解．
15．（2018秋•萧山区期末）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米，小婷家离学校的距离为 2100 米．
【点拨】由当x＝8时，y＝0，可得出妈妈从家出发 8分钟后与小婷相遇；
利用速度＝路程÷时间结合小婷的速度，可求出小婷和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为60米/分；
根据路程＝1600+小婷步行的速度×（23﹣18），即可得出小婷家离学校的距离．
【解析】解：（1）当x＝8时，y＝0，
故妈妈从家出发8分钟后与小婷相遇，
（2）当x＝0时，y＝1400，
∴相遇后18﹣8＝10分钟小婷和妈妈的距离为1600米，
1600÷（18﹣8）﹣100＝60（米/分），
∴相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟60米；
1600+（23﹣18）×100＝2100（米），
∴小婷家离学校的距离为2100米．
故答案为：8；60；2100．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（2018秋•海曙区期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：
用水量（吨）
不超过17吨的部分
超过17吨不超过31吨的部分
超过31吨的部分
单位（元/吨）
3
5
7
设某户居民家的月用水量为x（x＞31）吨，应付水费为y元，则y关于x的函数表达式为 y＝7x﹣96（x＞31） ．
【点拨】月用水量为x吨（x＞31）吨时，应付水费为三段的和：不超过17吨部分的水费+超过17吨不超过31吨部分的水费+超过31吨部分的水费．
【解析】解：由题意，可得
y＝3×17+5（31﹣17）+7（x﹣31）
化简，整理得y＝7x﹣96（x＞31）．
故答案为y＝7x﹣96（x＞31）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用．理解收费标准是解题的关键．
三、解答题
17．（2018秋•西湖区期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解．
【点拨】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）通过解方程组得C点坐标；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【解析】解：（1）根据题意得，解得，
∴直线解析式为y＝﹣x+3；
（2）解方程组得，
∴C点坐标为（，）；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得x＜，
即不等式kx+b＞x﹣2的解集为x＜．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18．（2019•嘉善县模拟）【阅读材料】在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
【解决问题】已知直线l1的解析式是y＝x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是，请求出直线l2的解析式．
【点拨】（1）根据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据直线l2与直线l1平行，可设直线l2的解析式为y＝x+b，然后在直线l1上取一点P（0，1），根据点P到直线l1的距离是列出关于b的方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵直线l1的解析式是y＝x+1，
将直线解析式变形为x+2y﹣2＝0，
∴A＝1，B＝2，C＝﹣2，
∴点P（1，﹣2）到直线l1的距离是d＝＝＝．
故答案为；
（2）∵直线l2与直线l1平行，直线l1的解析式是y＝x+1，
∴可设直线l2的解析式为y＝x+b，即x+2y﹣2b＝0，
在直线l1上取一点P（0，1），则点P到直线l1的距离是，
∴＝，
∴|2﹣2b|＝5，
解得b＝﹣或，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣或y＝x+．
【点睛】本题考查两条直线的平行问题，一次函数的性质，点到直线的距离公式，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式．解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C＝0的形式，学会构建方程解决问题．
19．（2018秋•萧山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
【点拨】（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1即可得到m的值，然后求出b的值，得到直线L2的函数表达式；
（2）由（1）得到直线l2的解析式为y＝﹣x+4，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，得到D（a，3a+1），E（﹣a+4），列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1得，m＝4，
∴B（1，4）
将点B（1，4）代入y＝﹣x+b中，得4＝﹣1+b，
∴b＝5，
令x＝0，得y＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）；
（2）由（1）得，直线l2的解析式为：y＝﹣x+5，
∵过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，
∴D（a，3a+1），E（a，﹣a+5），
∵DE＝6，
∴|3a+1﹣（﹣a+5）|＝6，
∴a＝或a＝﹣．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行，正确理解直线相交和平行时解析式的关系是解题的关键．
20．（2019春•永嘉县月考）某水果批发市场，草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．
（1）若李心批发购买草莓，苹果共10箱，刚好花费520元，则他购买草莓、苹果各多少箱？
（2）李心有甲，乙两个店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓，苹果两种水果合计30箱，并且每售出
一箱草莓和苹果，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．现在，李心要将批发购进的35箱草莓，25箱苹果分配给每个店铺各30箱．
设分配给甲店草莓x箱．
①根据信息填表：
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30﹣x
30
乙店
35﹣x
x﹣5
30
②设李心获取的总毛利润为W元，
（1）求W与x的函数关系式；
（2）若在保证乙店铺获得毛利润不少于950元的前提下，应怎样分配水果，使总毛利润W最大，最大的总毛利润是多少元？
【点拨】（1）根据题意列方程组解答即可；
（2）①根据题意列代数式即可；②根据题意得出W与x的函数关系式；根据题意列不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）设他购买草莓x箱，苹果y箱，根据题意得：
，解得，
答：他购买草莓6箱，苹果4箱．
（2）①表格如下
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30﹣x
30
乙店
35﹣x
x﹣5
30
故答案为：30x﹣x；35﹣x；x﹣5；
②由题：
W＝30x+40（30﹣x）+27（35﹣x）+36（x﹣5）＝﹣x+1965；
由题：
27（35﹣x）+36（x﹣5）≥950，
解得：，
又由x≤30，
∴且x为整数．
∴x的最小值为21．
∵W＝﹣x+1965中，
k＝﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小；
∴当x＝21时，W有最大值为1944元．
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
21．（2018秋•滨江区期末）已知A，B两地相距60km，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地．设行驶时间为x（h），甲、乙离开A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与x（h）的关系如图所示．
（1）分别求出线段OD，EF所在直线的函数表达式．
（2）试求点F的坐标，并说明其实际意义．
（3）乙在行驶过程中，求两人距离超过6km时x的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式；
（2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义；
（3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可．
【解析】解：（1）设线段OD的解析式为y＝kx，根据题意得：6k＝60，解得k＝10，
∴线段OD的函数表达式为：y＝10x；
∴点C的纵坐标为：4×10＝40，
设线段EF所在直线的函数表达式为y＝k1x+b，根据题意得：
，解得，
∴线段EF所在直线的函数表达式为y＝40x﹣120；
（2）根据题意得：40x﹣120＝60，解得x＝4.5，
∴点F的坐标为（4.5，60），
故点F的实际意义为：乙骑摩托车出发1.5小时后到达B地；
（3）当x＜4时 10x﹣（40x﹣120）＞6 x＜3.8 所以3≤x＜3.8；
当x＞4时（40x﹣120）﹣10x＞6 x＞4.2 所以4.2＜x≤4.5．
故x的取值范围为：3≤x＜3.8或4.2＜x≤4.5．
【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
22．（2019•萧山区模拟）在平面直角坐标系中，函数y1＝ax+b（a、b为常数，且ab≠0）的图象如图所示，y2＝bx+a，设y＝y1•y2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若点（1，4）在函数y的图象上，求函数y的表达式；
②若点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象上，且|x|，比较p，q的大小；
（2）若函数y的图象与x轴交于（m，0）和（n，0）两点，则求证：m＝．
【点拨】（1）①根据b＝﹣2a代入y＝y1•y2中，即可求出a的值，于是可求出函数y的表达式；
②求出函数y＝y1•y2的对称轴，对点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象的位置进行比较，即可得到p，q的大小关系；
（2）求出函数y＝y1•y2与x轴的交点，从而得到mn的值，即可证明相关结论．
【解析】解：（1）由题意得y＝（ax+b）（bx+a）
当b＝﹣2a时，y＝（ax﹣2a）（﹣2ax+a）
①把（1，4）代入，得，a2＝4
由题意可知，a＜0，则a＝﹣2
故函数y的表达式为y＝（﹣2x+4）（4x﹣2）．
②令（ax﹣2a）（﹣2ax+a）＝0
得x1＝2，x2＝
∴二次函数y＝（ax﹣2a）（﹣2ax+a）与x轴的两个交点坐标为（2，0）、（，0）
∴二次函数y的对称轴为直线x＝
又∵|x|
∴点（x1，p）离对称轴较近，且抛物线y开口向下
∴p＞q
故p，q的大小为p＞q．
（2）证明：令（ax+b）（bx+a）＝0
得，x1＝﹣，x2＝﹣
∴mn＝（﹣）×（﹣）＝1
∴mn＝1
即m＝得证．
【点睛】本题考查的是一次函数及二次函数的应用，利用函数与方程及不等式的关系解题是关键．
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
2．（2018秋•吴兴区期末）已知y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，则y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018秋•东阳市期末）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＞kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2
4．（2018秋•杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
5．（2019•杭州模拟）已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．0＜x＜2
6．（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
7．（2019•南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（2019•萧山区模拟）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018秋•下城区期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+；④若s＝60，则b＝．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．（2018秋•上虞区期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（1，3），用信号枪沿直线y＝3x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是（ ）
A．﹣5≤b≤0 B．﹣5＜b≤﹣3 C．﹣5≤b≤3 D．﹣5≤b≤5
二、填空题
11．（2019•鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 ．
12．（2019•杭州模拟）已知直线y1＝kx+1（k＜0）与直线y2＝nx（n＞0）的交点坐标为（，n），则不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为 ．
13．（2018秋•嘉兴期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），则关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为 ．
14．（2019春•温岭市期末）若已知方程组的解是，则直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 ．
15．（2018秋•萧山区期末）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 米，小婷家离学校的距离为 米．
16．（2018秋•海曙区期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：
用水量（吨）
不超过17吨的部分
超过17吨不超过31吨的部分
超过31吨的部分
单位（元/吨）
3
5
7
设某户居民家的月用水量为x（x＞31）吨，应付水费为y元，则y关于x的函数表达式为 ．
三、解答题
17．（2018秋•西湖区期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解．
18．（2019•嘉善县模拟）【阅读材料】在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
【解决问题】已知直线l1的解析式是y＝x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是，请求出直线l2的解析式．
19．（2018秋•萧山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
20．（2019春•永嘉县月考）某水果批发市场，草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．
（1）若李心批发购买草莓，苹果共10箱，刚好花费520元，则他购买草莓、苹果各多少箱？
（2）李心有甲，乙两个店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓，苹果两种水果合计30箱，并且每售出
一箱草莓和苹果，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．现在，李心要将批发购进的35箱草莓，25箱苹果分配给每个店铺各30箱．
设分配给甲店草莓x箱．
①根据信息填表：
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30
乙店
30
②设李心获取的总毛利润为W元，
（1）求W与x的函数关系式；
（2）若在保证乙店铺获得毛利润不少于950元的前提下，应怎样分配水果，使总毛利润W最大，最大的总毛利润是多少元？
21．（2018秋•滨江区期末）已知A，B两地相距60km，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地．设行驶时间为x（h），甲、乙离开A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与x（h）的关系如图所示．
（1）分别求出线段OD，EF所在直线的函数表达式．
（2）试求点F的坐标，并说明其实际意义．
（3）乙在行驶过程中，求两人距离超过6km时x的取值范围．
22．（2019•萧山区模拟）在平面直角坐标系中，函数y1＝ax+b（a、b为常数，且ab≠0）的图象如图所示，y2＝bx+a，设y＝y1•y2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若点（1，4）在函数y的图象上，求函数y的表达式；
②若点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象上，且|x|，比较p，q的大小；
（2）若函数y的图象与x轴交于（m，0）和（n，0）两点，则求证：m＝．
专题13 一次函数的应用答案及解析
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2019•西湖区一模）过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣4
【点拨】根据已知两点判断符合条件的x、y的范围，﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，结合答案即可；
【解析】解：过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线，与它交点在第三象限，
∴﹣3＜x＜0，﹣5＜y＜0，
只有y＝﹣4符合条件，
故选：D．
【点睛】本题考查平面内点的坐标的特点；能够由两点判断出所要求的x、y的范围是解题的关键．
2．（2018秋•吴兴区期末）已知y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，则y＝kx+k2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，即可得到k的值，进而得出该直线经过第一二四象限．
【解析】解：∵y＝kx+k2（k≠0）的图象与y＝﹣2x的图象平行，
∴k＝﹣2，
∴该直线解析式为y＝﹣2x+4，
∴该直线从左往右下降，与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一二四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当b＞0，图象与y轴的正半轴相交；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的负半轴相交．
3．（2018秋•东阳市期末）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＞kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2
【点拨】根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解．
【解析】解：观察函数图象可知：当x＞﹣1时，直线y＝4x+2在直线y＝kx+b的上方，
∴不等式4x+2＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
4．（2018秋•杭州期末）如图，函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式mx＞x+3的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【点拨】以交点为分界，结合图象写出不等式mx＞x+3的解集即可．
【解析】解：∵函数y1＝mx和y2＝x+3的图象相交于点A（﹣1，2），
∴不等式mx＞x+3的解集为x＜﹣1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．
5．（2019•杭州模拟）已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．0＜x＜2
【点拨】将点（）代入y1＝kx+1，得出m＝k+1，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．
【解析】解：∵一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象过点（），
∴m＝k+1，
∴m＝k+2，
∴不等式组即为，
解得＜x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式组的解法．得出m＝k+2是解题的关键．
6．（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【点拨】由图象可知，一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【解析】解：∵一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．（2019•南浔区一模）已知A，B两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地．当甲行驶1h后，乙骑自行车以20km/h的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离y（km）与甲行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段QM所在直线的解析式为y＝40x﹣160；④当x＝，，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【点拨】由图可知Q点为迎面相遇点；点M处甲到达终点．从而先求出相遇时乙走的路程，然后用全程300千米减去乙走的路程，得甲走的路程，再除以甲走的时间，从而得甲的速度，从而可知点P坐标，从而排除选项A和B，再求出QM的解析式，从而排除C，得正确答案为D．
【解析】解：由图可知Q点为迎面相遇点，坐标为（4，0），从而此时甲走了4小时，乙走了3小时，则乙走了20×3＝60（千米），甲走了300﹣60＝240（千米），
∴甲的速度为：240÷4＝60（千米/时），300﹣60＝（240千米）
∴点P坐标为（1，240）故②正确，排除选项A、B；
由图象可知点M处甲到达终点，300÷60＝5（小时），20×4＝80（千米），
故点M坐标为：（5，80）；
设QM解析式为：y＝kx+b，把点Q（4，0）和M（5，80）代入得：
解得
∴y＝80x﹣320，
故③错误．故排除C．
综上所述，只有D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用能力，根据题意弄清图象的实际意义是解题的基础和关键．分析出点Q点M为什么位置至关重要．
8．（2019•萧山区模拟）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】根据题意和函数图象中的数据可以计算出出各个选项中的量，从而可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0；
甲的速度是：120÷（3﹣1）＝60km/h，乙的速度是：80÷3＝，即乙出发1小时后两人距离为；
设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60（x﹣1）＝x，得x＝1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h．
所以符合题意的函数图象只有选项B．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．（2018秋•下城区期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+；④若s＝60，则b＝．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【点拨】①利用速度＝路程÷时间可求出两车的速度差，结合快车的速度即可求出a值，结论①正确；②利用时间＝两车之间的距离÷两车速度差可得出b值，由s不确定可得出b值不确定，结论②不正确；③利用两车第二次相遇的时间＝快车转向时的时间+两车之间的距离÷两车的速度之和可得出c值，结论③正确；④由②的结论结合s＝60可得出b值，结论④正确．综上，此题得解．
【解析】解：①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），
∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；
②两车第一次相遇所需时间＝（h），
∵s的值不确定，
∴b值不确定，结论②不正确；
③两车第二次相遇时间为b+2+＝b+（h），
∴c＝b+，结论③正确；
④∵b＝，s＝60，
∴b＝，结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
10．（2018秋•上虞区期末）如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（1，3），用信号枪沿直线y＝3x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是（ ）
A．﹣5≤b≤0 B．﹣5＜b≤﹣3 C．﹣5≤b≤3 D．﹣5≤b≤5
【点拨】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论．
【解析】解：∵直线y＝3x+b中k＝3＞0，
∴此直线必然经过一三象限．
∵B（2，1）、C（1，3），
∴当经过点B时，6+b＝1，解得b＝﹣5；
当经过点C时，3+b＝3，解得b＝0，
∴﹣5≤b≤0．
故选：A．
【点睛】此题主要考查是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
二、填空题
11．（2019•鹿城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），则关于x的方程kx＝b的解是 x＝2 ．
【点拨】依据待定系数法即可得到k和b的值，进而得出关于x的方程kx＝b的解．
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），与y轴相交于点（0，3），
∴，
解得，
∴关于x的方程kx＝b即为：x＝3，
解得x＝2，
故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
12．（2019•杭州模拟）已知直线y1＝kx+1（k＜0）与直线y2＝nx（n＞0）的交点坐标为（，n），则不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为 ．
【点拨】由nx﹣3＜（n﹣3）x+1，即可得到x＜；由（n﹣3）x+1＜nx，即可得到x＞，进而得出不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集．
【解析】解：把（，n）代入y1＝kx+1，可得
n＝k+1，
解得k＝n﹣3，
∴y1＝（n﹣3）x+1，
令y3＝nx﹣3，则
当y3＜y1时，nx﹣3＜（n﹣3）x+1，
解得x＜；
当kx+1＜nx时，（n﹣3）x+1＜nx，
解得x＞，
∴不等式组nx﹣3＜kx+1＜nx的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13．（2018秋•嘉兴期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0），则关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为 x＞1 ．
【点拨】观察函数图象得到即可．
【解析】解：由图象可得：当x＞﹣2时，kx+b＞0，
所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＞0的解集为x﹣3＞﹣2，
即：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（2019春•温岭市期末）若已知方程组的解是，则直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【点拨】根据一次函数与二元一次方程组的关系求解．
【解析】解：∵方程组的解是，
∴直线y＝kx﹣b与直线y＝﹣x+a的交点坐标为（﹣1，3），
∴直线y＝﹣kx+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是（﹣1，﹣3）
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解．
15．（2018秋•萧山区期末）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米，小婷家离学校的距离为 2100 米．
【点拨】由当x＝8时，y＝0，可得出妈妈从家出发 8分钟后与小婷相遇；
利用速度＝路程÷时间结合小婷的速度，可求出小婷和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为60米/分；
根据路程＝1600+小婷步行的速度×（23﹣18），即可得出小婷家离学校的距离．
【解析】解：（1）当x＝8时，y＝0，
故妈妈从家出发8分钟后与小婷相遇，
（2）当x＝0时，y＝1400，
∴相遇后18﹣8＝10分钟小婷和妈妈的距离为1600米，
1600÷（18﹣8）﹣100＝60（米/分），
∴相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟60米；
1600+（23﹣18）×100＝2100（米），
∴小婷家离学校的距离为2100米．
故答案为：8；60；2100．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（2018秋•海曙区期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：
用水量（吨）
不超过17吨的部分
超过17吨不超过31吨的部分
超过31吨的部分
单位（元/吨）
3
5
7
设某户居民家的月用水量为x（x＞31）吨，应付水费为y元，则y关于x的函数表达式为 y＝7x﹣96（x＞31） ．
【点拨】月用水量为x吨（x＞31）吨时，应付水费为三段的和：不超过17吨部分的水费+超过17吨不超过31吨部分的水费+超过31吨部分的水费．
【解析】解：由题意，可得
y＝3×17+5（31﹣17）+7（x﹣31）
化简，整理得y＝7x﹣96（x＞31）．
故答案为y＝7x﹣96（x＞31）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用．理解收费标准是解题的关键．
三、解答题
17．（2018秋•西湖区期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝x﹣2与直线y＝kx+b相交于点C，求点C的坐标；
（3）写出不等式kx+b＞x﹣2的解．
【点拨】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）通过解方程组得C点坐标；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【解析】解：（1）根据题意得，解得，
∴直线解析式为y＝﹣x+3；
（2）解方程组得，
∴C点坐标为（，）；
（3）解不等式﹣x+3＞x﹣2得x＜，
即不等式kx+b＞x﹣2的解集为x＜．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18．（2019•嘉善县模拟）【阅读材料】在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
【解决问题】已知直线l1的解析式是y＝x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是，请求出直线l2的解析式．
【点拨】（1）根据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据直线l2与直线l1平行，可设直线l2的解析式为y＝x+b，然后在直线l1上取一点P（0，1），根据点P到直线l1的距离是列出关于b的方程，解方程即可．
【解析】解：（1）∵直线l1的解析式是y＝x+1，
将直线解析式变形为x+2y﹣2＝0，
∴A＝1，B＝2，C＝﹣2，
∴点P（1，﹣2）到直线l1的距离是d＝＝＝．
故答案为；
（2）∵直线l2与直线l1平行，直线l1的解析式是y＝x+1，
∴可设直线l2的解析式为y＝x+b，即x+2y﹣2b＝0，
在直线l1上取一点P（0，1），则点P到直线l1的距离是，
∴＝，
∴|2﹣2b|＝5，
解得b＝﹣或，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣或y＝x+．
【点睛】本题考查两条直线的平行问题，一次函数的性质，点到直线的距离公式，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式．解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C＝0的形式，学会构建方程解决问题．
19．（2018秋•萧山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
【点拨】（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1即可得到m的值，然后求出b的值，得到直线L2的函数表达式；
（2）由（1）得到直线l2的解析式为y＝﹣x+4，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，得到D（a，3a+1），E（﹣a+4），列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1得，m＝4，
∴B（1，4）
将点B（1，4）代入y＝﹣x+b中，得4＝﹣1+b，
∴b＝5，
令x＝0，得y＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）；
（2）由（1）得，直线l2的解析式为：y＝﹣x+5，
∵过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，
∴D（a，3a+1），E（a，﹣a+5），
∵DE＝6，
∴|3a+1﹣（﹣a+5）|＝6，
∴a＝或a＝﹣．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行，正确理解直线相交和平行时解析式的关系是解题的关键．
20．（2019春•永嘉县月考）某水果批发市场，草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．
（1）若李心批发购买草莓，苹果共10箱，刚好花费520元，则他购买草莓、苹果各多少箱？
（2）李心有甲，乙两个店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓，苹果两种水果合计30箱，并且每售出
一箱草莓和苹果，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．现在，李心要将批发购进的35箱草莓，25箱苹果分配给每个店铺各30箱．
设分配给甲店草莓x箱．
①根据信息填表：
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30﹣x
30
乙店
35﹣x
x﹣5
30
②设李心获取的总毛利润为W元，
（1）求W与x的函数关系式；
（2）若在保证乙店铺获得毛利润不少于950元的前提下，应怎样分配水果，使总毛利润W最大，最大的总毛利润是多少元？
【点拨】（1）根据题意列方程组解答即可；
（2）①根据题意列代数式即可；②根据题意得出W与x的函数关系式；根据题意列不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）设他购买草莓x箱，苹果y箱，根据题意得：
，解得，
答：他购买草莓6箱，苹果4箱．
（2）①表格如下
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
x
30﹣x
30
乙店
35﹣x
x﹣5
30
故答案为：30x﹣x；35﹣x；x﹣5；
②由题：
W＝30x+40（30﹣x）+27（35﹣x）+36（x﹣5）＝﹣x+1965；
由题：
27（35﹣x）+36（x﹣5）≥950，
解得：，
又由x≤30，
∴且x为整数．
∴x的最小值为21．
∵W＝﹣x+1965中，
k＝﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小；
∴当x＝21时，W有最大值为1944元．
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
21．（2018秋•滨江区期末）已知A，B两地相距60km，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地．设行驶时间为x（h），甲、乙离开A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与x（h）的关系如图所示．
（1）分别求出线段OD，EF所在直线的函数表达式．
（2）试求点F的坐标，并说明其实际意义．
（3）乙在行驶过程中，求两人距离超过6km时x的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式；
（2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义；
（3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可．
【解析】解：（1）设线段OD的解析式为y＝kx，根据题意得：6k＝60，解得k＝10，
∴线段OD的函数表达式为：y＝10x；
∴点C的纵坐标为：4×10＝40，
设线段EF所在直线的函数表达式为y＝k1x+b，根据题意得：
，解得，
∴线段EF所在直线的函数表达式为y＝40x﹣120；
（2）根据题意得：40x﹣120＝60，解得x＝4.5，
∴点F的坐标为（4.5，60），
故点F的实际意义为：乙骑摩托车出发1.5小时后到达B地；
（3）当x＜4时 10x﹣（40x﹣120）＞6 x＜3.8 所以3≤x＜3.8；
当x＞4时（40x﹣120）﹣10x＞6 x＞4.2 所以4.2＜x≤4.5．
故x的取值范围为：3≤x＜3.8或4.2＜x≤4.5．
【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
22．（2019•萧山区模拟）在平面直角坐标系中，函数y1＝ax+b（a、b为常数，且ab≠0）的图象如图所示，y2＝bx+a，设y＝y1•y2．
（1）当b＝﹣2a时，
①若点（1，4）在函数y的图象上，求函数y的表达式；
②若点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象上，且|x|，比较p，q的大小；
（2）若函数y的图象与x轴交于（m，0）和（n，0）两点，则求证：m＝．
【点拨】（1）①根据b＝﹣2a代入y＝y1•y2中，即可求出a的值，于是可求出函数y的表达式；
②求出函数y＝y1•y2的对称轴，对点（x1，p）和（x2，q）在函数y的图象的位置进行比较，即可得到p，q的大小关系；
（2）求出函数y＝y1•y2与x轴的交点，从而得到mn的值，即可证明相关结论．
【解析】解：（1）由题意得y＝（ax+b）（bx+a）
当b＝﹣2a时，y＝（ax﹣2a）（﹣2ax+a）
①把（1，4）代入，得，a2＝4
由题意可知，a＜0，则a＝﹣2
故函数y的表达式为y＝（﹣2x+4）（4x﹣2）．
②令（ax﹣2a）（﹣2ax+a）＝0
得x1＝2，x2＝
∴二次函数y＝（ax﹣2a）（﹣2ax+a）与x轴的两个交点坐标为（2，0）、（，0）
∴二次函数y的对称轴为直线x＝
又∵|x|
∴点（x1，p）离对称轴较近，且抛物线y开口向下
∴p＞q
故p，q的大小为p＞q．
（2）证明：令（ax+b）（bx+a）＝0
得，x1＝﹣，x2＝﹣
∴mn＝（﹣）×（﹣）＝1
∴mn＝1
即m＝得证．
【点睛】本题考查的是一次函数及二次函数的应用，利用函数与方程及不等式的关系解题是关键．
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