四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题4理
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第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数，则的模为
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是
A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍
C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍
D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当
5．在中，是上一点，且，则
A． B． C． D．
6．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126]之外的人数估计有
（附：若服从，则，）
A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人
7．已知，则
A． B． C． D．
8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是
A．若∥，则∥ B．若，则
C．若相交，则相交 D．若相交，则相交
9．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是
A． B． C． D．
10．已知，则
A． B． C． D．
11．若存在，满足，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知点是椭圆上的动点，过作圆的两条切线分别为切于点，直线与轴分别相交于两点，则（为坐标原点）的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，常数项的值为______．
14．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________
15．函数（是正实数）只有一个零点，则的最大值为 .
16．在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）如图，在梯形中，．
（1）求的长；
（2）求梯形的面积．
18．（12分）某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得分，答错或不答得分；第二空答对得分，答错或不答得分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从该校份试卷中随机抽取份试卷，其中该题的得分组成容量为的样本，统计结果如下表：
第一空得分情况 |
| 第二空得分情况 | ||||
得分 | 0 | 3 |
| 得分 | 0 | 2 |
人数 | 198 | 802 |
| 人数 | 698 | 302 |
（1）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计该校高三学生该题的平均分；
（2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题得分的数学期望.
19．（12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
1证明：；
2若为上的动点，与平面所成最大角
的正切值为，求二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.
21．（12分）已知函数的导函数为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数区间上存在非负的极值，求的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
(1)写出的参数方程和的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.
理科数学参考答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B 11．D 12．D
13．84 14． 15． 16．
17．解：（1）因为，
所以，即．
因为，所以，所以．
在中，由余弦定理得，，
即，解得．
（2）由（1）可得，所以，所以．
因为且为锐角，所以，
所以．
由，得．
．
在中，由正弦定理得，，所以，
所以梯形的面积．
18．（1）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得:
，
据此可估计该校高三学生该题的平均分为分.
（2）依题意，第一空答对的概率为，第二空答对的概率为，
的可能取值为.
；；
；.
该同学这道题得分的分布列如下：
| ||||
所以该同学这道题得分的数学期望为：.
19．1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．
因为E为BC的中点，所以．
又，因此．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
而平面PAD，平面PAD且，
所以平面又平面PAD，
所以．
2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由1知平面PAD，
则为EH与平面PAD所成的角．在中，，
所以当AH最短时，最大，即当时，最大．
此时，又，所以，
所以．因为平面ABCD，平面PAC，所以平面平面ABCD．
过E作于O，则平面PAC，
过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，
在中，，，
又F是PC的中点，在中，，
又，
在中，，即所求二面角的余弦值为．
20．解：（1）由题意得 椭圆的方程为；
（2）由（1）得，，，设直线的方程为，
，，由，得，
，，，
直线的方程为，直线的方程为，
，，
，直线与的交点在直线上.
21．（1）令，，∴，∴，
∴，代入可得，∴，
∴.
（2）由题意，
∴，
当即时，在上恒成立，
∴在区间上单调递增，无极值，不合题意；
当即时，令，则，
∴当，，函数单调递减；，，函数单调递增；
∴在存在唯一极值，又函数区间上存在非负的极值，
∴存在，
∴存在即，令，∴，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；
∴，∴当即时，取最大值，∴的最大值为.
22．解：（1）
（2）把直线方程代入抛物线方程得：
23．（1）因为，
当时，由可得出，解得，此时；
当时，由可得出，解得，此时；
当时，由可得出，解得，此时.
所以不等式的解集为；
（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，所以.
，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
