江苏省南京师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题（含解析）

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项∶
1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.设，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设为实数，已知向量.若，则向量与之间的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ）
A. “宫、商、羽”的频率成等比数列
B. “宫、徵、商”的频率成等比数列
C. “商、羽、角”的频率成等比数列
D. “宫、商、角”的频率成等比数列
6.若函数的部分图像如图所示，则函数图像的一条对称轴是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.函数的图像大致为（ ）

8.设实数，已知函数若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）

A. 此人退休前每月储蓄支出2400元
B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C. 此人退休工资收入为6000元/月
D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少
10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的一条渐近线方程为 D. △的面积为8
11.在正方体中，，、分别为、中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥的体积与点位置有关
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 点到平面的距离为
12.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线为曲线的一条切线；
B. 的极值点个数为3；
C. 的零点个数为4；
D. 若，则.
三、填空题
13.二项式的展开式中的系数为________.
14.已知、均为锐角，且，则________.
15.设为实数，对于任意的，关于的不等式（为自然对数的底数）在实数域上恒成立，则的取值范围为________.
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.

四、简答题.
17.在中，设内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若三角形的面积为，求的周长.
18.已知函数（为常数，且）
（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列为等差数列，并说明理由；①数列是首项为4，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为4，公比为2的等比数列的前项和构成的数列；
（2） 在（1）的选择下，若，求数列的前项和.
19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，点是棱上一点.
（1）若时中点，求证：平面平面;
（2）即二面角的平面角为，且，求线段的长.
20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为.
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.
（2）第10轮比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为.
（ⅰ）求出的最大值点;
（ⅱ）若以作为的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列.
参考数据：，则.
21.设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点时，在线段上取点，使得，问：点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项∶
1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】集合的交集运算
【解析】由题意可知，所以，故答案选B.
2.设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】复数的运算
【解析】由题意，则的虚部为为，故答案选C.
3.设，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】抛物线的方程、逻辑用语
【解析】由题意抛物线可化为，由焦点在轴正半轴上，则，即mn