中考数学 专项训 练考点07 半角模型在三角形中应用(基础)
展开专题07 半角模型在三角形中应用
1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.
如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.
解析：
∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,
∵DE=BF,∠AFB=∠AED.[来源:Z*xx*k.Com]
将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°
即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ
∵∠PAQ=45°
∠PAE=45°
∴∠PAQ=∠PAE
在△APE和△APQ中
AE=AQ
∠PAE=∠PAQ
AP=AP
△APE≌△APQ(SAS)
∴PE=PQ
而PE=PB+BE=PB+DQ
∴DQ+BP=PQABD
2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.
解析：
因为△ABD绕点A旋转，得到
∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90°
∵∠DAE=45°
∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°
∴在△AED和△中
AE=AE
∠EAD=∠AED’
AD=AD’
∴△AED≌△AED’
∴DE=D’E
由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’
在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’
∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°
∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°
3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
求证：BE=AE+CF
[来源:Zxxk.Com]
解析：
将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG,
由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF
∵BF平分∠EBC,
∴∠EBG=∠ABF=∠BFC
∴∠G=∠EBG
∴EG=EB
∴BE=AE+CF.
4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.
解析：
如图，由题意得：△ABE≌△ADG
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG
∴FG=BE+DF
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG
在△EAF和△GAF中，
AE=AG
∠EAF=∠GAF
AF=AF
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=FG,而FG=BE+DF
∴EF=BE+DF[来源:学科网]
5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，
如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______
如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______
点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.
解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE
可得△MBD≌△ECD(SAS)
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE
∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60°
同理可得△MDN≌△EDN(SAS)
∴MN=NE=NC+BM
∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB
等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6
（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时
（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）[来源:Z+xx+k.Com]
