中考数学 专项训练 考点05 手拉手模型构造全等三角形(基础)

专题05 手拉手模型构造全等三角形1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.解析：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)[来源:学科网ZXXK]∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BC=BD+CD∴BC=CE+CD（2）∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EAC[来源:学§科§网Z§X§X§K]AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE[来源:Zxxk.Com]∵BD=BC+CD∴CE=BC+CD2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°∵BD=12∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5∴AB=BD+AD=12+5=173、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________解析：∵△ABD,△BCE为等边三角形[来源:学+科+网]∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°在△ABE和△DBC中AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC ∴(1)正确∵△ABE≌△DBC∴∠BAE=∠BDC∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°（2）正确∵在△ABP和△BDQ中∠BAP=∠BDQAB=DB∠ABP=∠DBQ=60°∴△ABP≌△DBQ∴BP=BQ∴△BPQ为等边三角形（3）正确∵∠DMA=60°∴∠AMC=120°∴∠AMC+∠PBQ=180°∴P、B、Q、M四点共圆∵=∴∠BMP=∠BMQ即MB平分∠AMC4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.解析：（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴BE=AD(2) 如图1，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD=∠CBE[来源:Z_xx_k.Com]∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α∴∠BAM+∠AMB=180°-α∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α.如图2，由（1）可得，BE=AD，∵AD,BE的中点分别为点P、Q∴AP=BQ∵△ACQ≌△BCE∴∠CAP=∠CBQ在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ又∵∠ACP+∠PCB=90°∴∠BCQ+∠PCB=90°∴∠PCQ=90°∴△CPQ为等腰直角三角形.