四川省宜宾市南溪区第二中学校2021届高三上学期期中考试数学（理）试题

数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（   ）

A.2                B.              C.                D.

2.直线的倾斜角为（   ）

A.              B.            C.              D.

3.过点，且与直线垂直的直线方程为（   ）

A.         B.    C.       D.

4.已知圆，直线，则被圆所截得的弦长为（   ）

A.             B. 2             C.                D. 1

5.在三棱锥中，平面，，且，则异面直线与所成角的正切值为（   ）

6.已知直线：和直线：平行，则的值是（   ）

A. 3                B.             C.3或             D.或

7.已知是两个平面，是两条直线，下列说法正确的是（   ）

A.若则             B.若，则

C.若，，则                D.若，，则

8.已知三棱柱的体积为，则四面体的体积为（   ）

A.                  B.                C.                D.

9. 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By-C=0不通过（     ）

A.第一象限            B.第二象限         C.第三象限           D.第四象限

10. 某四棱锥的三视图如右图所示，俯视图是等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（   ）

A.                                       

 B.

 C.                          

 D.

11. 已知圆的方程为 是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（   ）

A.               B.              C.           D.

12. 在三棱锥中，平面，，是线段

上的动点，记直线与平面所成角为，若的最大值为，则三棱锥外接

球的表面积为（   ）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若三点A（2，3），B（3，－1），C（，m）共线，则m的值为          ．

14. 已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为            ．

15. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值是             ．

16. 已知边长为的等边，是边的中点，沿中线将折起，使得二面角

为，则四面体的外接球的表面积为          ．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.

（1）求直线的方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

18．（本小题满分12分）

(1)已知方程表示一个圆,求实数的取值范围；

（2）求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程.

19．（本小题满分12分）圆过点，求

（1）周长最小的圆的方程；

（2）圆心在直线上的圆的方程．

20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，且，

平面平面，，分别在棱，上，且

.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

 21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点，.

（1）在线段上找一点,使得,并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求证.

22．（本小题满分12分）如图所示,在三棱锥中,，，平面,直线与平面所成角为，、分别是、上的动点，且.

(I)求证：平面；

(II)是否存在，使得平面平面? 若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由.

答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

ADACD    ADBAA   DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 9;    14. ;  15.9 ;    16. .

三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

17．解：（1）四边形为平行四边形，.

.

直线的方程为，即.………5分

（2），.

直线的方程为，即.……10分

18．试题解析：（1），

 解得：                     ………6分

(2)设：原点O(0,0)和点A（4，0），则线段OA的垂直平分线的方程为x=2

所以圆心的坐标为（2，b）

又因为圆心在直线3x+y-5=0上，所以3×2+b-5=0,b=-1, 圆心的坐标为（2，-1）

r2=22+(-1)2 =5

所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2 =5      ………12分

19．（1）当为直径时，过、的圆的半径最小，从而周长最小，即中点为圆心，半径，则圆的方程为：； ……………………………(6分)

（2）的斜率为，则的垂直平分线的方程是

，即，

由得，即圆心坐标是，       ……………………………(9分)

，

∴圆的方程是，               …………………………………(12分)

20．解：（I）在上取点，使得，连，……………….1分

为平行四边形，………………….3分

平面平面平面.…………….6分

（II），取中点连，
平面平面，平面平面，
 

.………………….12分

21（1）解：M是线段PD的中点，在中，O,M分别是BD、PD的中点，

           ……………………（3分）

又      ………（5分）

           ……………………（6分）

（2）  

    又 四边形ABCD是矩形，

  且

  ,                       ………………………（8分）

又

     又 ，M是PD的中点

  且              ……………………………………（10分）

              ………………………………………………（12分）

22 (I)证明：在平面内，，

　， ，     ……………2分

　平面，平面，　  ……4分

　由于， 平面

平面．    ……………………………………………6分

(II)平面，平面， ，

　要使得平面平面， 只需    ……………………8分

　又,，不妨设，

平面,直线与平面所成角为,　，   …9分

在中，，，，　　，…11分

　　．  ………………………………………………………12分