广西玉林师院附中、玉林十一中等五校2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试题

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2020年秋季期期中教学质量评价高二数学（文）试卷

考试时间：120分钟；命题人：谭春 审题人：李益善

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知，，则是的(     )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为，中位数为，则（    ）

A．19.5 B．2 C．21 D．11.5

4．判断如图所示的图形中具有相关关系的是（    ）

A． B．

C． D．

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A．2 B．4 C．8      D．16

6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，

那么互斥而不对立的事件是（  ）

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．恰有一个红球与恰有二个红球

D．至少有一个红球与至少有一个白球

7．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（    ）

A．平均分 B．方差 C．中位数 D．标准差

8．党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆：离心率为，点在上，则椭圆的短轴长为（  ）

A．1 B． C．2 D．

11．祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值．正三角形的边长为4，若总豆子数，其中落在圆内的豆子数，则估算圆周率的值是（为方便计算取1.70，结果精确到0.01）（    ）

A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16

12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_____人．

14．下表是，之间的一组数据：

且关于的回归方程为，则表中的______.

15．设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．

16．有下列命题

①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1＜3x”；

②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；

③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；

④若函数f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数，则a＝﹣1；

其中所有正确的说法序号是              

三、解答题

17．已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：

（1）求实数的值；

（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.

18．已知：双曲线.

（1）求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率；

（2）若一条双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程.

19．设命题实数满足，其中；命题实数满足.

（1）当时，若命题和命题皆为真命题，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.

21．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降，国内多地在3月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量（单位：辆）如下：

（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）的概率；

（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程；

（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第10天的销售量；若不可行，请说明理由.

参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

22．椭圆：经过点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点），则直线与的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.

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2020年秋季期期中教学质量评价高二数学试卷参考答案

1．A【详解】设命题:对应的集合为,

命题 :对应的集合为,

因为AB,所以命题 是命题的充分不必要条件.故选A.

2．A【详解】

解：因为，所以，则，，

所以，又因为，所以.故选：A.

3．D【详解】

由题意可知众数为,中位数为,所以.

4．C【详解】根据图象可得A,B为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系，

C中散点分布在一条直线附近，可得其线性相关，

D中散点分布在一个长方形区域，即非线性相关，故选：C

5．C【详解】

从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：

3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.

选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；

选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；

选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.

6．C【解析】试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．

解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：

s=  -1     2

n= 2  4  8    故S=2时，输出n=8．  故选C

7．C【详解】

将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数.故选：C

8．A【详解】

由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，

其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，所以由古典概型概率公式知：，故选：A

9．B【详解】设和椭圆相切且与直线平行的直线方程为，

所以得，

因为直线和圆相切，所以，所以，

时，与的距离为，

时，与的距离为

此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，  所以，

所以，得，解得切点坐标为，故选：B.

10．C【详解】因为，，所以，所以，故选：C.

11．C【详解】由题意可得，正三角形，内切圆的半径内，内切圆，

则，．故选：C．

12．C【详解】

13．3000   【详解】

由已知可知，高三年级抽取的学生数为，

设该高中的学生总数为n，则，

解得，即该高中的学生共有3000人．故答案为：3000

14．11【详解】 ∵回归直线经过样本中心点，，

∴，

∴，解得.    故答案为：C

15．【详解】  由题意可得，

渐近线方程为，

∴，，故．

故答案为：．

16．②④【详解】

解：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，故错误；

②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”，故正确；

③“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故错误；

④若函数f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数，

则f（﹣x）＝f（x），即（﹣x+1）（﹣x+a）＝（x+1）（x+a），

即x2﹣（a+1）x+a＝x2+（a+1）x+a， 则a＝﹣1，故正确；

故答案为②④．

17．【详解】

（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，

故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，

；

（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男生2，女生5人，共有7人

设男生为,女生为：

随机抽取2人不相同的情况有：

    ,总共有种选法

性别不同的(即一男生一女生)有：

，共种选法，

随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为， 故.

18．（1）双曲线 ，所以，，

双曲线的焦点坐标，，顶点坐标，，离心率．

（2）设所求双曲线的方程为：，将代入上式得：， 解得：所求双曲线的方程为：．

19．【详解】（1）当时，，

所以，

解得；即命题为真命题，则；

因为，  所以，即命题为真命题，则；

若命题和命题皆为真命题，  所以，所以；即的取值范围

（2）因为，，

所以，  解得 ，

因为是的必要不充分条件，  所以是的必要不充分条件，

即 是的真子集， 则，则，

经检验，当或时，都满足题意.   即实数的取值范围.

20．【详解】

（1）设双曲线方程为：，将点的坐标代入双曲线的方程得，  所以所求双曲线方程为；

（2）易知双曲线右焦点的坐标为，设点、，

直线的方程为，联立，可得，

，由韦达定理可得，.

因此，.

21．【详解】（1）设“从6天中随机选取2天，这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）”为事件， 这6个数据为3、4、5、6、7、8，抽取两个事件的基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中事件发生的基本事件包括，，，共3种，

所以.

（2）因为，，

，，  所以，

，  所以所求线性回归方程为.

（3）当时，，此时；

当时，，此时；

所以所求线性回归方程为是“可行”的.

当时，；    所以预测第10天的销售量为31辆.

22．【详解】（1）由题意知，，解得，

所以，椭圆的方程为.

（2）由题设知，直线、的方程为，代入，

得，由已知，

设，，，则，，

从而直线与的斜率之和

.