数学九年级下册第24章 圆24.2 圆的基本性质24.2.2 垂径定理第2课时教案及反思

这是一份数学九年级下册第24章 圆24.2 圆的基本性质24.2.2 垂径定理第2课时教案及反思，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时 垂径分弦





1．理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点)；


2．认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)．











一、情境导入





你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．


它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？


二、合作探究


探究点一：垂径定理及应用


【类型一】 利用垂径定理求线段长





如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )


A．2eq \r(3)cm B．3eq \r(2)cm


C．4eq \r(2)cm D．4eq \r(3)cm


解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq \r(3).∴OD＝2eq \r(3)cm，∴AB＝4eq \r(3)cm.故选D.


方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题


【类型二】 垂径定理的实际应用





如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq \(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.


解析：本题考查垂径定理的应用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，在Rt△ADO中，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.


方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题


【类型三】 动点问题








如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．


解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．





解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝eq \f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq \r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm．


方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题


探究点二：垂径定理的推论的应用


【类型一】 利用垂径定理的推论求角


如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是( )





A．100° B．110° C．120° D．130°


解析：已知M、N分别是eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题


【类型二】 利用垂径定理的推论求边


如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )





A．9 B．8 C．6 D．4


解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直径CD过弦AB的中点E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝eq \r(OB2－OE2)＝4，∴AB＝2BE＝8.故选B.


方法总结：垂径定理的推论虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题


三、板书设计


1．垂径定理


垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．


2．垂径定理的推论


平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．





教学过程中，引导学生探究垂径定理及其推论时，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在练习过程中，引导学生结合实际运用垂径定理，使学生养成良好的思维习惯.