江苏省盐城市2021届高三数学上学期期中试题

江苏省盐城市2021届高三数学上学期期中试题

2020．11

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．命题“x(0，1)，x2﹣x＜0”的否定是

   A．x(0，1)，x2﹣x≥0             B．x(0，1)，x2﹣x≥0

   C．x (0，1)，x2﹣x＜0            D．x(0，1)，x2﹣x≥0

2．已知集合A＝，集合B＝，则AB＝

   A．            B．[1，4)          C．(1，4)          D．(4，)

3．已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为

   A．             B．             C．            D．

4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢

   A．5              B．6              C．7              D．8

5．函数(x[，])的图像大致是

6．要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730年（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量即），现有一古物，测得其14C的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（参考数据：，）

   A．1910           B．3581           C．9168           D．17190

7．已知数列满足，，，且是等比数列，则＝

   A．376            B．382            C．749            D．766

8．设x，y(0，)，若sin(sinx)＝cos(cosy)，则cos(sinx)与sin(cosy)的大小关系为

A．＝             B．＞             C．＜             D．以上均不对

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．设函数，(aR)，若＝5，则a＝

   A．1              B．2              C．3              D．0

10．函数单调递增的必要不充分条件有

   A．a≥2           B．a＝2           C．a≥1           D．a＞2

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋bc，则角A可为

   A．           B．             C．           D．

12．设数列，若存在常数a，对任意正数r，总存在正整数N，当n≥N，有，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有

A．等差数列不可能是收敛数列

B．若等比数列是收敛数列，则公比q(﹣1，1]

C．若数列满足，则是收敛数列

D．设公差不为0的等差数列的前n项和为(≠0)，则数列一定是收敛数列

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．若，则＝       ．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线，若b＝4c＝4且，则cosA＝       ；中线AD的长为       ．

15．若是单调递增的等差数列，且，则数列的前10项和为       ．

16．若函数在(1，2)上存在两个极值点，则b(3a＋b＋9)的取值范围 是       ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设函数，(0，)．

（1）若函数在x＝处的切线方程为y＝1，求m的值；

（2）若(0，)，＞0恒成立，求m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

设，其中为正整数，，当＝0时，函数在[，]单调递增且在[，]不单调．

（1）求正整数的值；

（2）在①函数向右平移个单位得到奇函数；②函数在[0，]上的最小值为；③函数的一条对称轴为x＝这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答．

已知函数满足       ，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＜b，．试问：这样的锐角△ABC是否存在，若存在，求角C；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对于任意的x[0，)，不等式≤x＋2恒成立，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，D为边BC上一点，DC＝2，∠BAD＝．

（1）若，且角B＝，求AC的长；

（2）若BD＝，且角C＝，求角B的大小．

21．（本小题满分12分）

设等差数列的前n项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，设数列的前n项和为，求证：＜2．

22．（本小题满分12分）

设函数．

（1）当(，)时，，求实数a的取值范围；

（2）求证：存在正实数a，使得总成立．

江苏省盐城市2021届高三第一学期期中考试

数学试卷

2020．11

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．命题“x(0，1)，x2﹣x＜0”的否定是

   A．x(0，1)，x2﹣x≥0             B．x(0，1)，x2﹣x≥0

   C．x (0，1)，x2﹣x＜0            D．x(0，1)，x2﹣x≥0

答案：B

解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论，故选B．

2．已知集合A＝，集合B＝，则AB＝

   A．            B．[1，4)          C．(1，4)          D．(4，)

答案：C

解析：A＝(1，)，B＝(0，4)，故AB＝(1，4)．

3．已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为

   A．             B．             C．            D．

答案：D

解析：，

      ，

cos<，>＝．故选D．

4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢

   A．5              B．6              C．7              D．8

答案：B

解析：，，

，，

，，．

5．函数(x[，])的图像大致是

答案：B

解析：，

，，．

6．要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730年（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量即），现有一古物，测得其14C的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（参考数据：，）

   A．1910           B．3581           C．9168           D．17190

答案：A

解析：，，．

7．已知数列满足，，，且是等比数列，则＝

   A．376            B．382            C．749            D．766

答案：C

解析：，，，

，．

8．设x，y(0，)，若sin(sinx)＝cos(cosy)，则cos(sinx)与sin(cosy)的大小关系为

A．＝             B．＞             C．＜             D．以上均不对

答案：D

解析：由题意知0＜sinx≤1，﹣1＜cosy＜1，1rad≈57°，

因为，，

所以或，

或，故选D．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．设函数，(aR)，若＝5，则a＝

   A．1              B．2              C．3              D．0

答案：BD

解析：．

10．函数单调递增的必要不充分条件有

   A．a≥2           B．a＝2           C．a≥1           D．a＞2

答案：AC

解析：．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋bc，则角A可为

   A．           B．             C．           D．

答案：BC

解析：．

12．设数列，若存在常数a，对任意正数r，总存在正整数N，当n≥N，有，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有

A．等差数列不可能是收敛数列

B．若等比数列是收敛数列，则公比q(﹣1，1]

C．若数列满足，则是收敛数列

D．设公差不为0的等差数列的前n项和为(≠0)，则数列一定是收敛数列

答案：BCD

解析：对于A，令＝1，则存在a＝1，使，故A错；

对于B，，若，则对任意正数r，当n＞时， ＞r＋1，所以此时不存在正整数N使得定义式成立；

若q＝1，显然符合，若q＝﹣1为摆动数列，只有两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；q(﹣1，1)时，取a＝0，N＝[]＋1，当n＞N时，，故B正确；

对于C，，符合；

对于D，，，当d＞0时，单调递增并且可以取到比更大的正数，当n＞＝N时，，d＜0同 理，所以D正确．

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．若，则＝       ．

答案：

解析：．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线，若b＝4c＝4且，则cosA＝       ；中线AD的长为       ．

答案：

解析：，

则，

，由投影可易知DB⊥AB，即，

b＝4，c＝1，则，，．

15．若是单调递增的等差数列，且，则数列的前10项和为       ．

答案：220

解析：设，，则

，则，则．

16．若函数在(1，2)上存在两个极值点，则b(3a＋b＋9)的取值范围 是       ．

答案：(4，)

解析：，则在(1，2)上有两个不同的零点，，则，

则，

(1，2)，[，﹣2)，同理[，﹣2)，由于，

(4，)．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

设函数，(0，)．

（1）若函数在x＝处的切线方程为y＝1，求m的值；

（2）若(0，)，＞0恒成立，求m的取值范围．

解：（1）由题意知：，得：m＝2；

   （2）

        令，则

        时，，递增；时，，递减，故，因此m＞1．

18．（本小题满分12分）

设，其中为正整数，，当＝0时，函数在[，]单调递增且在[，]不单调．

（1）求正整数的值；

（2）在①函数向右平移个单位得到奇函数；②函数在[0，]上的最小值为；③函数的一条对称轴为x＝这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答．

已知函数满足       ，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＜b，．试问：这样的锐角△ABC是否存在，若存在，求角C；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：（1）＝0时，，

由题意知：

又，故＝2；

（2）选③：关于对称

则，

又，故，

，即

或，

即：或，

又A，B为△ABC内角，且a＜b，故

因此，这样的△ABC存在，且C＝．

19．（本小题满分12分）

设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对于任意的x[0，)，不等式≤x＋2恒成立，求a的取值范围．

解：（1）

时，；时，

故递增区间为(，)，递减区间为(，)；

（2），不等式恒成立

即，，令，x≥0，则

，令，，

故在递增，则，即

因此在递增，所以，

所以，a≤2．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，D为边BC上一点，DC＝2，∠BAD＝．

（1）若，且角B＝，求AC的长；

（2）若BD＝，且角C＝，求角B的大小．

解：（1）因为，则

    又CD＝2，则CB＝5，BD＝3，又∠BAD＝∠B＝，故AD＝BD＝3，且∠ADC＝

在△ACD中，由余弦定理：AC2＝AD2＋CD2﹣2AD·CDcos∠ADC＝7，故AC＝；

（2）设，则，

在△ABD中，由正弦定理：

在△ACD中，由正弦定理：，即

由上述两式得：

又，故，即，即．

21．（本小题满分12分）

设等差数列的前n项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，设数列的前n项和为，求证：＜2．

解：（1）设的公差为d，由题意知：

    故；

（2）由（1）知：，则，

故

．

22．（本小题满分12分）

设函数．

（1）当(，)时，，求实数a的取值范围；

（2）求证：存在正实数a，使得总成立．

解：（1），

即，，令，，则

时，，时，

故在递减，在递增

因此，

所以，；

（2）取，则，

令，，则在R上递增

又，故x＜0时，，即；x＞0时，，即

①x＞0时，，令，x≥0，

故在递增，因此

所以，x＞0时，，即；

②时，，即；

③时，由（1）知：，则在递增

因此，即；

因此，时，总成立，即题意得证．