2020年黑龙江省中考数学试卷
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2020年黑龙江省中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 下列各运算中，计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
2. 下列图标中是中心对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是．
A． B． C． D．
4. 一组从小到大排列的数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，则该组数据的平均数是．
A． B．或
C．或 D．或
5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是．
A． B．
C． D．且
6. 如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，，则的值是．
A． B． C． D．
7. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是．
A．
B．且
C． 且
D．且
8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为．
A．
B．
C．
D．
9. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案．
A．种 B．种 C．种 D．种
10. 如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：
① ；
② 的周长为；
③；
④ 的面积的最大值是；
⑤ 当时，是线段的中点．
其中正确的结论是．
A．① ② ③
B．② ③ ④
C．① ③ ④
D．① ④ ⑤
| 二、 填空题（共10题） |
11. 信号的传播速度为，将数据用科学记数法表示为________．
12. 在函数中，自变量的取值范围是 ．
13. 如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________或_______或_______等，使和全等．
14. 一个盒子中装有标号为、、、、的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于的概率为________．
15. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是________．
16. 如图，是的外接圆的直径，若，则________．
17. 小明在手工制作课上，用面积为，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
18. 如图，在边长为的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为________．
19. 在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为________．
20. 如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形．．则点的坐标为__________．
| 三、 解答题（共8题） |
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
23. 如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
24. 为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟次，某班班长统计了全班名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25. 为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26. 如图① ，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．
（1）与的数量关系是________．
（2）将绕点逆时针旋转到图② 和图③ 的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图② 或图③ 进行证明．
27. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．
（1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元，求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克(为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段________；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】．，正确；
．，故此选项错误；
．，故此选项错误；
．，故此选项错误．
故选：
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 【答案】B
【解析】．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3. 【答案】B
【解析】综合主视图与左视图，第一行第列最多有个，第一行第列最多有个；
第二行第列最多有个，第二行第列最多有个；
所以最多有：（个)．
故选：
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4. 【答案】C
【解析】从小到大排列的数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，
或，
当时，这组数据的平均数为；
当时，这组数据的平均数为；
即这组数据的平均数为或．
故选：
【点评】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
5. 【答案】B
【解析】关于的一元二次方程有两个实数根，，
，
解得：．
故选：
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
6. 【答案】C
【解析】四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
点，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
．
故选：
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7. 【答案】B
【解析】分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且．
故选：
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
8. 【答案】A
【解析】四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
．
故选：
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得．
9. 【答案】D
【解析】设购买种奖品个，购买种奖品个，
当种奖品个数为个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，，，，，，，
当种奖品个数为个时，
根据题意得，
整理得，
、都是正整数，，
，，，，，
有种购买方案．
故选：
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
10. 【答案】D
【解析】如图中，
在上截取，连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
,故正确,
如图中，
延长到，使得，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
,故错误,
的周长,故错误,
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为．故正确,
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故正确．
故选：
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定的值以及的值．
12. 【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13. 【答案】；
【解析】添加的条件是：，
理由是：在和中
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有，，，，等．
14. 【答案】；
【解析】画树状图如图所示：
共有种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于的有种结果，
摸出的两个小球的标号之和大于的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15. 【答案】；
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有个整数解，
不等式组的整数解为、，
则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
16. 【答案】；
【解析】连接，如图，
为的外接圆的直径，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17. 【答案】；
【解析】，
，解得，
设圆锥的底面半径为，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式： (为弧长，为扇形的半径）．
18. 【答案】；
【解析】如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，关于对称，
，，
，
，
，，共线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
的最小值为．
【点评】本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
19. 【答案】或；
【解析】分两种情况：
① 当点落在边上时，如图所示：
四边形是矩形，
，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，
是等腰直角三角形，
，；
② 当点落在边上时，如图所示：
四边形是矩形，
，，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，，，
，，
在和中，，，
，
，即，
解得：，或（舍去），
，
；
综上所述，折痕的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．
20. 【答案】；
【解析】点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
由上可知，，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．
三、 解答题
21. 【答案】
【解析】原式
，
当时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22. 【答案】（1）如图所示，即为所求，点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为；
（3）在旋转过程中扫过的面积为：．
【解析】（1）如图所示，即为所求，点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求，点的坐标为；
（3）如图，
，
在旋转过程中扫过的面积为：．
【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23. 【答案】（1）；
（2） ，．
【解析】（1）根据题意得，
解得．
故抛物线的解析式为；
（2）二次函数的对称轴是，
当时，，
则，
点关于对称轴的对应点，
设直线的解析式为，
则，
解得．
则直线的解析式为，
设与平行的直线的解析式为，
则，
解得．
则与平行的直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，（舍去）．
．
综上所述，，．
【点评】此题考查了二次函数综合题，综合运用待定系数法求二次函数解析式的方法和对称轴，以及互相平行的两直线的关系．
24. 【答案】（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，超过全校的平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩一定在范围内；
（3）其跳绳次数超过全校平均数的概率是．
【解析】（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：，
，
超过全校的平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为，所以中位数一定在范围内；
（3）该班秒跳绳成绩大于或等于次的有：（人，
故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．
【点评】考查了频数（率)分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数．
25. 【答案】（1）的解析式为；
（2）货车返回时与快递车图中相遇的时间，；
（3）．
【解析】（1）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的解析式为；
（2）设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为；
设的函数解析式为，由经过，可得：
，解得，
的函数解析式为，
解方程组得，
同理可得．
故货车返回时与快递车图中相遇的时间，．
（3）．
故两车最后一次相遇时离武汉的距离为
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键．
26. 【答案】（1）；
（2）如图② 中，结论仍然成立,．
【解析】（1）如图① 中，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为．
（2）如图② 中，结论仍然成立．
理由：连接，延长交于点．
和是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
、、分别为、、的中点，
，，，，
，，
．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．．
27. 【答案】（1）的值为，的值为；
（2）共有种购买方案，方案1：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案2：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；
（3）的最大值为．
【解析】（1）依题意，得：，
解得：．
故：的值为，的值为
（2）依题意，得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，方案1：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案2：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜；方案：购进千克甲种蔬菜，千克乙种蔬菜．
（3）购买方案的总利润为（元)；
购买方案的总利润为（元)；
购买方案的总利润为（元)．
，
利润最大值为元，即售出甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克．
依题意，得：，
解得：．
故：的最大值为
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28. 【答案】（1） ；
（2）当时，的面积；
当时，点与点重合，；
当时，的面积；
（3）点坐标为或．
【解析】（1）长是的根，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
．
故答案为：
（2）如图，过点作于，
，
，
，
，，
，
当时，的面积；
当时，点与点重合，；
当时，的面积．
（3）如图，过点作于，
当时，
，
，
或，
或，
当时，
，，
，，
点，
当时，
同理可求点，
当时，
，
，
或（不合题意舍去），
，
点．
综上所述：点坐标为或
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
