2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第七章第二讲　空间几何体的表面积与体积


第二讲　空间几何体的表面积与体积

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　柱、锥、台和球的侧面积和体积

侧面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝__S底·h__＝πr2h
圆锥
S侧＝__πrl__
V＝S底·h＝πr2h＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)·h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝__ch__
V＝__S底h__
正棱锥
S侧＝ch′
V＝S底h
正棱台
S侧＝(c＋c′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝__4πR2__
V＝πR3

知识点二　几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__各面面积之和__．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是__矩形__、__扇形__、__扇环形__；它们的表面积等于__侧面积__与底面面积之和．

1．长方体的外接球：
球心：体对角线的交点；半径：r＝　　(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝　a　(a为正方体的棱长)；
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝　　(a为正方体的棱长)；
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝　a　(a为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝　a　(a为正四面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝　a　(a为正四面体的棱长)．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　ABC　)
A．多面体的表面积等于各个面的面积之和
B．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
C．已知球O的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则R＝a
D．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS
题组二　走进教材
2．(必修2P27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　B　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
[解析]　由条件得：，
∴3r2＝12，∴r＝2．
题组三　考题再现
3．(2019·天津红桥区)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　C　)

A． B．
C． D．π
[解析]　　由三视图知，几何体是半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积V＝××π×12×＝.故选C．
4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　B　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
[解析]　设圆柱底面半径为r，则4r2＝8，即r2＝2.∴S圆柱表面积＝2πr2＋4πr2＝12π．
5．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　．

[解析]　设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以＝＝.故填．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　几何体的表面积——自主练透
例1　

(1)(2019·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　C　)
A．2＋ B．4＋
C．2＋2 D．5
(2)(2019·湖南永州一模)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(　C　)

A．6－ B．6－
C．6－ D．6＋
(3)(多选题)(2020·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　AB　)
A．π B．(1＋)π
C．2π D．(2＋)π
[解析]　

(1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝××1＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面积＝2＋2.故选C．
(2)由三视图可知几何体是在正方体中挖去一个八分之一球，如图，∴S表面积＝3＋3(1－)＋×4π＝6－.故选C．

(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为π，故选A、B．
名师点拨 ☞
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．
〔变式训练1〕
(2019·河南洛阳二模)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(　B　)

A． B．9π
C． D．10π
[解析]　由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一的球组合而成．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π.故选B．
考点二　几何体的体积——师生共研
例2　(1)(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　A　)

A．＋1 B．＋3
C．＋1 D．＋3

(2)(2020·河南中原名校质量考评)一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为(　D　)
A．12 B．8
C．6 D．4
[解析]　

(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm，高为3 cm的半个圆锥和三棱锥S－ABC组成的，如图，三棱锥的高为3 cm，底面△ABC中，AB＝2 cm，OC＝1 cm，AB⊥OC．故其体积V＝××π×12×3＋××2×1×3＝(＋1)cm3.故选A．
(2)由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积V＝××2×3×4＝4.故选D．

[引申]若将本例(2)中侧视图中虚线去掉，则该几何体的体积为__8__，表面积为　21＋3　．
[解析]　几何体为如图所示的四棱锥，用公式求解即可．

名师点拨 ☞
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)直接利用公式进行求解．
(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图．再求解．
〔变式训练2〕
(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　A　)

A． B．
C． D．1
(2)(2019·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　B　)

A．8 B．8π
C．16 D．16π
[解析]　 (1)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V＝××1×1×1＝.故选A．

(2)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：×22π×4＝8π.故选B．

考点三　球与几何体的切、接问题——多维探究
角度1　几何体的外接球
例3　(1)(2019·全国)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA，PB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　D　)
A．8π B．4π
C．2π D．π
(2)(2020·广东顺德质检)已知三棱锥P－ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为(　D　)
A． B．20π
C．48π D．
[解析]　(1)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，
∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，
又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，
∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，
∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，
∴PA＝PB＝PC＝，
∴P－ABC为正方体一部分，2R＝＝，
即R＝，∴V＝πR3＝π×＝π．

(2)如图设△ABC外接圆的圆心为O1，球心为O，则OO1⊥平面ABC，又PA⊥平面ABC，连接AO1并延长交球于H，由∠PAH＝，知O∈PH，∴OO1为Rt△PAH的中位线，∴OO1＝PA＝1，又正△ABC边长为2，∴＝2O1H，∴O1H＝，∴OH＝＝，∴S球＝4π·(OH)2＝，故选D．

名师点拨 ☞
几何体外接球问题的处理
(1)解题关键是确定球心和半径，球心必在过球的截面外接圆的圆心且垂直于该平面的直线上，再根据R2＝h2＋r2求解(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r．
(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
注意：不共面的四点确定一个球面．
角度2　几何体的内切球
例4　(1)(2019·河北省石家庄市适应性考试)一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为(　B　)
A．8π B．4(2－)2π
C．4(2＋)2π D．π
(2)(2019·山东实验中学模拟)在侧棱长为a的正三棱锥O－ABC中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为(　B　)
A．a B．a
C．a D．a
[解析]　

(1)作圆锥轴截面——等腰△PAB，则球心在底边的高PH上，又AP＝BP＝2，∠PBH＝，
∴AH＝HB＝HP＝．
设内切球的半径为r，则利用圆锥的轴截面，根据面积法，可得×2×＝×(2＋2＋2)r，解得r＝2－，
所以该圆锥内切球的表面积为
4π×(2－)2＝4(2－)2π，故选B．

(2)当小球与三个侧面OAB，OAC，OBC及底面ABC都相切时，
小球的体积最大，此时小球的半径最大，该小球为正三棱锥O－ABC的内切球，
设其半径为r，球心为P，
∵OA＝OB＝OC＝a，
∴AB＝AC＝BC＝a，
∴VO－ABC＝×a2×a＝a3，
VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VP－ABC＝×[a2＋a2＋a2＋(a)2]r＝a2r，
由题可知VO－ABC＝VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VO－ABC，
因此a3＝a2r，∴r＝a＝a，故选B．
[引申]本例(1)中圆锥外接球的体积为　　．
[解析]　圆锥底面圆心即为其外接球的球心，所以外接球的半径为，∴V球＝()3＝．
名师点拨 ☞
几何体内切球问题的处理
(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．
(2)利用体积法求多面体内切球半径．
〔变式训练3〕
(1)(角度1)(2019·广西南宁、玉林、贵港等市联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为(　B　)

A．2π B．3π
C．4π D．6π
(2)(角度1)(2019·四川省宜宾市二诊)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，AB＝BC＝CA＝2，PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的体积为(　D　)
A． B．2
C． D．
(3)(角度2)(2019·厦门质量检查一)如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，若该棱锥的体积为，则该棱锥的内切球的表面积是(　C　)

A． B．
C． D．
[解析]　(1)几何体的直观图是如图所示的四面体ABCD，四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，外接球的直径2R＝，∴此几何体的外接球表面积为3π，故选B．

(2)如图所示，取BC中点D，连接AD，

则AD＝＝，
设三角形ABC的中心为G，
则AG＝，
又球O得半径为2，则OG＝＝，
则PA＝．
∴三棱锥P－ABC的体积为
V＝××2××＝.故选D．
(3)由正视图和侧视图知，该几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形．因为该棱锥的体积为，所以该棱锥的高h＝，斜高h′＝2.设该棱锥的内切球的半径为R，则4×××2×2×R＋×22×R＝，解得R＝，所以该棱锥的内切球的表面积S＝4π×()2＝.故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
最值问题、开放性问题
例5　(2018·课标全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　B　)
A．12 B．18
C．24 D．54
[解析]　设等边△ABC的边长为a，
则有S△ABC＝a·a·sin 60°＝9，解得a＝6．
设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，解得r＝2，
则球心到平面ABC的距离为＝2，
所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18，故选B．
例6　若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为　(或等)　　(只需写一个可能值)．

[解析]　如图，若AB＝AC＝BD＝CD＝AD＝2，BC＝1，取AD得中点，则CH＝BH＝，且AH⊥平面BCH，又S△BCH＝，∴VABCD＝S△BCH×2＝．
如图，若AB＝AC＝BD＝CD＝2，AD＝BC＝1，同理可求得VABCD＝．
〔变式训练4〕
(2019·甘肃诊断)四棱锥P－ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P－ABCD的体积最大值为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　设正方形ABCD的中心为O1，当P在O1与球心O的连线上时，四棱锥高最大，由于底面ABCD面积固定，则高最大时，四棱锥体积取得最大值．设高为h，|O1A|＝＝2，球的半径为3，故(h－3)2＋(2)2＝32，解得h＝4.故四棱锥的体积的最大值为×42×4＝.故选D．