2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第五章第三节　第2课时　系统题型——平面向量的数量积及应用

第2课时　系统题型——平面向量的数量积及应用
一、学前明考情——考什么、怎么考

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B.3
C．2 D．0
解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
2.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A．30° B.45°
C．60° D．120°
解析：选A　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
3.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析：法一：∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(m－1,3)，
∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝－(m－1)＋6＝0，解得m＝7.
法二：由已知可得(a＋b)·a＝a·a＋b·a＝1＋4－m＋2＝0，解得m＝7.
法三：如图，设a＝，b＝，a＋b＝，由于向量a＋b与a垂直，可知△COA为直角三角形，故|a|2＋|a＋b|2＝|b|2，即1＋4＋(m－1)2＋32＝m2＋1，解得m＝7.
答案：7


常规角度
1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．
2.平面向量数量积的应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题．
主要以选择、填空题为主，难度中等偏下
创新角度
平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等

二、课堂研题型——怎么办、提知能

平面向量数量积及其性质的应用

1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B.1
C. D．－
解析：选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝＋＝1.故选B.
2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)
A. B.
C. D．4
解析：选C　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.
3．(2019·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选A　∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A.
4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：选B　∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.

1．平面向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
2.利用数量积求解长度问题的处理方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)|a±b|＝＝.
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
3．向量夹角问题的2个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．
(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔a·b