2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第八章立体几何与空间向量8.6

§8.6　空间向量及其运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.
4.了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式.
本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.


1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量


2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

概念方法微思考
1.共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？
提示　不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示　无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(　×　)
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
(6)若a·b