2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第五章第三节平面向量的数量积及其应用

第三节平面向量的数量积及其应用


1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b


2.平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

[小题体验]
1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为________．
答案：
2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________.
解析：因为a＝(－1,3)，b＝(1，t)，所以a－2b＝(－3,3－2t)．因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t)＝0，即t＝2，所以b＝(1,2)，所以|b|＝＝.
答案：


3．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：由b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，得b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝－6.
答案：－6

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．
3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．
[小题纠偏]
1．给出下列说法：
①向量b在向量a方向上的投影是向量；
②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；
③(a·b)c＝a(b·c)；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中正确的说法有________个．
答案：0
2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.
解析：因为＝，＝，所以·＝＋＝.所以cos∠ABC＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
答案：30°

3．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.
解析：因为a＝(1，)，所以|a|＝2，又|a－2b|＝2，即|a|2－4a·b＋4|b|2＝12，故22－4×2×|b|×cos ＋4|b|2＝12，化简得|b|2－|b|－2＝0，所以|b|＝2.
答案：2

　
[题组练透]
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝________.
解析：因为a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.
答案：－3
2．(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ＝________.
解析：因为＝－，＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，·＝2×3×cos 120°＝－3.所以·＝(λ－1)2＋λ2＋(1－2λ)·＝19λ－12＝－，所以λ＝.
答案：
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，
所以|a|＝＝2，
又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10.
答案：10


4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________.

解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以·＝·(＋)＝·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 45°＝2×2×＋2×1×＝6.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，所以＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝ (－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，所以·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.
答案：6
[谨记通法]
向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题

　
[锁定考向]
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．
常见的命题角度有：
(1)平面向量的模；
(2)平面向量的夹角；
(3)平面向量的垂直．　　　 　
[题点全练]
角度一：平面向量的模
1．(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a＝(2,1)，a·b＝10，若|a＋b|＝5，则|b|＝________.
解析：因为a＝(2,1)，所以|a|＝，又|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5.
答案：5
角度二：平面向量的夹角
2．(2018·太湖高级中学检测)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为________．
解析：因为a⊥(a－b)，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cosa，b＝0，
所以cosa，b＝，
所以a，b＝.
答案：
3．(2019·启东中学检测)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．
解析：如图，在△ABC中，设＝β，＝α，
则＝－＝β－α.
因为α与β－α的夹角为120°，所以A＝60°.
由正弦定理得＝，则BA＝sin C．又0＜sin C≤1，
所以0＜BA≤，故α的模的取值范围是.
答案：
角度三：平面向量的垂直
4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.
(1)求x与y之间的关系式；
(2)若⊥，求四边形ABCD的面积．
解：(1)由题意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)．
因为∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，
即x＋2y＝0.
(2)由题意得＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．
因为⊥，所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，
联立
解得或
当时，＝(8,0)，＝(0，－4)，
S四边形ABCD＝AC·BD＝16；
当时，＝(0,4)，＝(－8,0)，
S四边形ABCD＝AC·BD＝16.
所以四边形ABCD的面积为16.
[通法在握]
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
[演练冲关]
1．(2019·海安模拟) 已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.
解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，
所以|2a－3b|＝＝＝＝.
答案：
2．已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．
解析： 易知|b|＝1，|a|＝5，
对|a－b|＝两边平方，整理得2a·b＝5，
即2|a||b|cos θ＝5，解得cos θ＝，
则向量a，b的夹角为.
答案：
3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析：＝－，由于⊥，
所以·＝0，
即(λ＋)·(－)
＝－λ2＋2＋(λ－1)·
＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×
＝0，解得λ＝.
答案：
　
[典例引领]
(2018·启东高三期中)已知向量a＝(sin x,2)，b＝(cos x，1)，函数f(x)＝a·b.
(1)若a∥b，求tan的值；
(2)求函数y＝f，x∈的最小值和最大值．
解：(1)由a∥b，得sin x＝2cos x．所以tan x＝2.
所以tan＝＝－3.
(2)因为f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋2＝sin 2x＋2，
所以y＝f＝sin＋2.
因为x∈，所以2x－∈，
从而－≤sin≤1.
于是，当2x－＝－，即x＝0时，函数y＝f有最小值，
当2x－＝，即x＝时，函数y＝f有最大值.
[由题悟法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．
[即时应用]
　已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．
(1)当x＝时，求m·n的值；
(2)若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值．
解：(1)当x＝时，m＝，n＝，
所以m·n＝－＝.
(2)m·n＝cos xsin x－cos2x
＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.
若m·n＝－，则sin－＝－，
即sin＝.
因为x∈，所以－≤2x－≤，
所以cos＝，
则cos 2x＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·海门模拟)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：∵向量a＝(3,4)，b＝(1，－1)，
∴向量a在向量b方向上的投影为
|a|cos θ＝＝＝－.
答案：－
2．(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|＝________.
解析：因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，
即|a|2－|a||b|cosa，b＝8，
所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
答案：4
3．(2018·苏州期末)已知a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，则向量a与b的夹角是________．
解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，
∵a＝(m,2)，b＝(1，n)，m＞0，n＞0，且|a|＝4，|b|＝2，
∴m2＋4＝16,1＋n2＝4，解得m＝2，n＝.
∴a·b＝m＋2n＝4＝4×2×cos θ，
∴cos θ＝，则向量a与b的夹角是.
答案：
4．(2018·滨海期末)已知向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，若a⊥b，则|2a＋b|＝________.
解析：∵向量a＝(－1,3)，b＝(3，t)，a⊥b，
∴a·b＝－3＋3t＝0，解得t＝1，
∴b＝(3,1)，2a＋b＝(1,7)，
故|2a＋b|＝＝5.
答案：5
5．(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°，则·＝________.
解析：由题意得＝＋，所以·＝·(＋)＝2＋·＝4＋2×1×cos 120°＝3.
答案：3
6．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，＝，＝，AD与BE交于点P，则·的值为________．
解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3)，E(1, 2)，P，所以·＝||2＝2＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝________.
解析：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，
所以|a|＝＝＝2.
答案：2
2．(2019·如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60°， a＝(3,4)，|b|＝1，则|a－2b|＝________.
解析：∵a＝(3,4)，∴|a|＝＝5，
又|b|＝1，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝5×1×＝，
∴|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝25＋4－10＝19，
则|a－2b|＝.
答案：
3．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．
解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2＝－b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，|2a－b|＝＝＝ |a|，cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.
答案：
4．(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6，则·＝________.
解析：由题意可得·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝9＋·(＋)＋0＝9＋·＝9＋3×6×cos(π－∠PAC)＝9－18×＝9－18×＝－.
答案：－
5．(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ＝________.
解析：法一：由题意可得·＝2×2cos ＝2，
·＝(＋) ·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
所以λ＝.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
因为＝λ，所以λ＝.
答案：
6．(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________.
解析：·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2，同理，·＝2－2＝－7，所以·＝2－2＝2－2－7＝9.
答案：9
7．(2019·崇川一模)若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的余弦值为________．
解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝2，|b|＝1，
∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，
即a·b＝－|b|2＝－×12＝－，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，
∴向量a与b夹角的余弦值为－.
答案：－
8．(2018·盐城期中)如图，在四边形ABCD中，A＝，AB＝2，AD＝3，分别延长CB，CD至点E，F，使得＝λ，＝λ，其中λ＞0，若·＝15，则λ的值为________．
解析：∵＝－＝λ－λ＝λ＝λ(－)，
∴·＝λ(－)·＝λ(2－·)＝λ(9－3)＝15，
∴λ＝.
答案：
9．(2019·通州调研)设两个向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)若|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k的值．
解：(1)证明：∵＝＋＋
＝(a＋b)＋(2a＋8b)＋3(a－b)
＝6(a＋b)＝6，
∴与共线，且有公共点A，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb垂直，
∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，
∴ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos 60°＋kb2＝0，
即3k2＋13k＋3＝0，
解得k＝.
10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以⊥，即·＝0，
又AB＝9，BC＝6，＝2，
所以＝＋＝＋，
＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝62－×92＝18.
(2)设与的夹角为θ，由(1)得，
·＝·
＝2－·－2
＝62－ ×9×6×cos θ－×92＝6，
所以cos θ＝.
故与夹角的余弦值为.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为上的一点，若·＝2，则·＝________.

解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由·＝2，可得2x＝2，x＝1，P为A上的一点，所以||＝2，所以P(1，)，＝(1，)，又＝(－2,2)，所以·＝－2＋2.
答案：－2＋2
2．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若＝3，＝5，则(＋)·(－)的值为________．
解析：法一：因为＝＋，所以＋＝2＋，而－＝，由于⊥，所以· ＝0，所以(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·，又因为Q是BC的中点，所以2＝＋，故2·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－25＝－16.
法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．
又||＝3，||＝5，所以||＝4，cos∠BAC＝，
故＋＝＋(＋)＝＋，
从而(＋)·(－)
＝·(－)
＝2＋·－2
＝×9＋×3×5×－25＝－16.
答案：－16
3．(2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，AD⊥BC于D，求·的值．
解：(1) 由m·n＝，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)·sin B＝，所以cos A＝.
因为0＜A＜，
所以sin A＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝.
因为0＜B＜，所以B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝(sin A＋cos A)＝.
又||＝||sin C＝5×＝，
所以·＝(＋)·＝－2＝－||2＝－.

命题点一　平面向量基本定理
1．(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC中，＝a，＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝________.(用a，b表示)
解析：由题知＝＋＝－＋
＝－＋＝－
＝a－b.
答案：a－b

2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
解析：由题易得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝.
答案：
3．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.
解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，
得sin α＝，cos α＝，
设C(xC，yC)，B(xB，yB)，
则xC＝||cos α＝×＝，
yC＝||sin α＝×＝，即C.
又cos(α＋45°)＝×－×＝－，
sin(α＋45°)＝×＋×＝，
则xB＝||cos(α＋45°)＝－，
yB＝||sin(α＋45°)＝，即B.
由＝m＋n，可得
解得所以m＋n＝＋＝3.
答案：3
4．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以所以所以m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
命题点二　平面向量的数量积
1.(2016·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
解析：由题意，得·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋)＝2－2
＝||2－||2＝－1，①
·＝(＋)·(＋)
＝(＋3)·(－＋3)
＝92－2
＝9||2－||2＝4.②
由①②得||2＝，||2＝.
所以·＝(＋)·(＋)
＝(＋2)·(－＋2)＝42－2
＝4||2－||2＝4×－＝.
答案：
2．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

解析：因为＝＋＝＋，
＝＋＝－，
所以·＝·＝
||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.
答案：22
3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，
∴原式＝2×12＋1＝3.
答案：3
4．(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，
所以ma－b＝(m＋1，－m)．
由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，
即m＋1＝0，所以m＝－1.
答案：－1
5.(2018·天津高考改编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为________．
解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.
由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，
则＝(－1，y)，＝，
∴·＝＋y2－y＝2＋，
∴当y＝时，·有最小值.
答案：
6．(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析：法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.
法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故·的最大值为6.
答案：6
7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析：因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
所以a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2.
答案：－2
8．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
则tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.