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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第2章第13节 导数与函数的综合问题

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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第2章第13节 导数与函数的综合问题

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    第十三节 导数与函数的综合问题 导数与不等式  考法1 证明不等式【例1】 已知函数f(x)xaex(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)x0a1时,证明:x2(a1)xxf′(x)[] (1)f(x)xaex可得f′(x)1aex.a0时,f′(x)0,则函数f(x)(,+)上为增函数.a0时,由f′(x)0可得xlnf′(x)0可得xln所以函数f(x)上为增函数,在上为减函数.(2)证明:F(x)x2(a1)xxf′(x)x2axaxexx(xaaex)H(x)xaaex,则H(x)1aex.x00ex1,又a11aex1ex0.H(x)(0)上为增函数,则H(x)H(0)0,即xaaex0.x0可得F(x)x(xaaex)0,所以x2(a1)xxf′(x)考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题【例2】 f(x)xln xg(x)x3x23.(1)如果存在x1x2[0,2]使得g(x1)g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M(2)如果对于任意的st,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.[] (1)存在x1x2[0,2]使得g(x1)g(x2)M成立,等价于[g(x1)g(x2)]maxM.g(x)x3x23,得g(x)3x22x3x.g(x)0x0,或xg(x)00x,又x[0,2]所以g(x)在区间上是减少的,在区间上是增加的,所以g(x)ming=-g(0)=-3g(2)1,所以g(x)maxg(2)1.[g(x1)g(x2)]maxg(x)maxg(x)minM则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的st,都有f(s)g(t)成立,等价于在区间上,函数f(x)ming(x)max(1)可知在区间上,g(x)的最大值为g(2)1.在区间上,f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.h(x)xx2ln xh(x)12xln xxm(x)xln xm(x)ln x10x.m(x)xln x上是增函数,可知h(x)在区间上是减函数,h(1)0所以当1x2时,h(x)0x1时,h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上递增,在区间(1,2)上递减,所以h(x)maxh(1)1所以a1即实数a的取值范围是[1,+)[规律方法] 1.利用导数证明含x不等式方法,证明:f(x)g(x)法一:移项,f(x)g(x)0,构造函数F(x)f(x)g(x),转化证明F(x)min0,利用导数研究F(x)单调性,用上定义域的端点值.法二:转化证明:f(x)ming(x)max.法三:先对所求证不等式进行变形,分组或整合,再用法一或法二.2利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围.(2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.3恒成立存在性问题的求解是互补关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否成立问题. (2018·全国卷节选)已知函数f(x)aexln x1.证明:当a时,f(x)0.[] 证明:当a时,f(x)ln x1.g(x)ln x1,则g(x).0<x<1时,g(x)<0;当x>1时,g(x)>0.所以x1g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)g(1)0.因此,当a时,f(x)0. 利用导数研究函数的零点问题 【例3】 (2019·黄山模拟)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0f(0))处的切线方程;(2)ab4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.[] (1)f(x)x3ax2bxc,得f′(x)3x22axb.因为f(0)cf′(0)b所以曲线yf(x)在点(0f(0))处的切线方程为ybxc.(2)ab4时,f(x)x34x24xc所以f′(x)3x28x4.f′(x)0,得3x28x40,解得x=-2x=-.x变化时,f(x)f′(x)的变化情况如下:x(,-2)2f′(x)00f(x)cc所以,当c0c0,存在x1(4,-2)x2x3,使得f(x1)f(x2)f(x3)0.f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.[规律方法] 利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极()值的位置.(3)可以通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 设函数f(x)kln xk0.(1)f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1]上仅有一个零点.[] (1)f(x)kln x(k0),得x0f′(x)x.f′(x)0,解得x(负值舍去)f(x)f′(x)在区间(0,+)上的变化情况如下表:x(0)(,+)f′(x)0f(x)所以,f(x)的递减区间是(0),递增区间是(,+)f(x)x处取得极小值f(),无极大值.(2)证明:(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f().因为f(x)存在零点,所以0,从而keke时,f(x)在区间(1)上递减,且f()0所以xf(x)在区间(1]上的唯一零点.ke时,f(x)在区间(1)上递减,且f(1)0f()0所以f(x)在区间(1]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1]上仅有一个零点. 利用导数研究生活中的优化问题 【例4】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路分别为l1l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,MNC的两个端点,测得点Ml1l2的距离分别为5千米和40千米,点Nl1l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2l1所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中ab为常数)模型.(1)ab的值;(2)设公路l与曲线C相切于点PP的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.[] (1)由题意知,点MN的坐标分别为(5,40)(20,2.5)将其分别代入y解得(2)(1)知,y(5x20)则点P的坐标为设公路lx轴,y轴分别为AB两点,如图所示,y=-则直线l的方程为y=-(xt)由此得AB.f(t)t[5,20]g(t)t2t[5,20]g(t)2t.g(t)0,解得t10.t[5,10)时,g(t)0g(t)是减函数;t(1020]时,g(t)0g(t)是增函数.所以当t10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min300此时f(t)min15.故当t10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.[规律方法] 利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100/平方米,底面的建造成本为1 60/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π为圆周率)(1)V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定rh为何值时该蓄水池的体积最大.[] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×rh200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh160πr2)元.又根据题意知200πrh160πr212 000π所以h(3004r2)从而V(r)πr2h(300r4r3)因为r>0,又由h>0可得r<5故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)所以V(r)(30012r2)V(r)0,解得r15r2=-5(舍去)r(0,5)时,V(r)>0,故V(r)(0,5)上为增函数;r(5,5)时,V(r)<0,故V(r)(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)r5处取得最大值,此时h8.即当r5h8时,该蓄水池的体积最大. 1(2018·全国卷)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)e0.[] (1)f′(x)f′(0)2.因此曲线yf(x)(0,-1)处的切线方程是2xy10.(2)a1时,f(x)e(x2x1ex1)ex.g(x)x2x1ex1,则g(x)2x1ex1.x<1时,g(x)<0g(x)递减;当x>1时,g(x)>0g(x)递增.所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.2(2015·全国卷)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(2)证明:当a0时,f(x)2aaln.[] (1)f(x)的定义域为(0,+)f′(x)2e2x(x>0)a0时,f′(x)>0f′(x)没有零点;a>0时,设u(x)e2xv(x)=-因为u(x)e2x(0,+)上是增加的,v(x)=-(0,+)上是增加的,所以f′(x)(0,+)上是增加的.f′(a)>0,当b满足0<b<b<时,f′(b)<0故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.(2)证明:(1),可设f′(x)(0,+)上的唯一零点为x0,当x(0x0)时,f′(x)<0x(x0,+)时,f′(x)>0.f(x)(0x0)上是减少的,在(x0,+)上是增加的,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0)由于2e2x00所以f(x0)2ax0aln2aaln .故当a>0时,f(x)2aaln .

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