2019版高考数学（理）创新大一轮北师大通用版讲义：第十章统计与统计案例第3节

第3节　相关性、最小二乘估计与统计案例
最新考纲　1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

知 识 梳 理
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程y＝a＋bx的系数为：

其中＝xi，＝yi，(，)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
3.独立性检验
(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：A1，A2＝1；
变量B：B1，B2＝1.
2×2列联表
　 B
A　
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.
(2)独立性检验
利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验.
(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.
[常用结论与微点提醒]
1.求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.(　　)
(2)通过回归直线方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势.(　　)
(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.(　　)
(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2值越大.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.(教材例题改编)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
则y对x的线性回归直线方程为(　　)
A.y＝2.3x－0.7 B.y＝2.3x＋0.7
C.y＝0.7x－2.3 D.y＝0.7x＋2.3
解析　易求＝9，＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y＝0.7x－2.3.
答案　C
3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25
解析　在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.
答案　A
4.(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是(　　)

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析　对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.
答案　D
5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科
文科
男
13
10
女
7
20
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则有________的把握认为选修文科与性别有关系.
解析　χ2≈4.844＞3.841，则有95%的把握认为选修文科与性别之间有关系.
答案　95%

考点一　相关关系的判断
【例1】 (1)已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是(　　)
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析　(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.
答案　(1)C　(2)D
规律方法　1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r0时，正相关；b R；
③x，y之间不能建立线性回归方程.
解析　(1)从统计图表中看出，月收入的中位数是(15＋17)＝16，收入增加，则支出也增加，x与y正线性相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用y＝bx＋a拟合效果要好，则R>R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.
答案　(1)C　(2)①②
考点二　线性回归方程及应用
【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.



(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于

所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为
y＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
规律方法　1.(1)正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
(2)回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(x，y).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)本例中y与x不具有线性相关，先作变换，转化为y与w具有线性相关，求出y关于w的线性回归方程，然后进一步求解.
【训练2】 (2018·上饶调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
表2
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？


b＝＝1.2，
a＝－b＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以z＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y＝1.2x－2 410.8.
(3)因为y＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
考点三　独立性检验
【例3】 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：χ2＝
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解　(1)利用分层抽样，300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
将2×2列联表中的数据代入公式计算，
得χ2＝＝≈4.762＞3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
规律方法　1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.
【训练3】 (2018·合肥质检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.
(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.并判断是否有95%的把握认为科类的选择与性别有关？

选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生



女生



合计



解　(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.
(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：

选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
则χ2＝＝≈5.142 9>3.841，
所以有95%的把握认为科类的选择与性别有关.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得χ2＝5，则下列说法正确的是(　　)
A.有95%的把握认为“X和Y有关系”
B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C.有99%的把握认为“X和Y有关系”
D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析　依题意χ2＝5，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.
答案　A
2.(2018·石家庄模拟)下列说法错误的是(　　)
A.回归直线过样本点的中心(，)
B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C.对分类变量X与Y，随机变量χ2值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D.在回归直线方程y＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位
解析　根据相关定义分析知A，B，D正确，C中对分类变量X与Y的随机变量χ2值越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误.
答案　C
3.(2017·汉中模拟)已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：
x
－4
－2
1
2
4
y
－5
－3
－1
－0.5
1
根据上述数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则大致可以判断(　　)
A.a>0，b>0 B.a>0，b3.841.
故有95%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.
10.(2018·惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下表：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告费支出xi
1
2
4
6
11
13
19
销售额yi
19
32
40
44
52
53
54
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：y＝－0.17x2＋5x＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额.
参考数据：＝8，＝42，xiyi＝2 794，x＝708.



∴a＝－b＝42－1.7×8＝28.4，
故y关于x的线性回归方程是y＝1.7x＋28.4.
(2)∵0.753.841.
∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.
答案　A
12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.
解析　＝＝8＋，
＝＝6＋.
回归直线一定经过样本中心(，)，
即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即
解得故n＝10.
答案　10
13.(2018·湖南百所重点中学阶段性诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：

(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.
月份
1
2
3
4
利润y(单位：百万元)
4
4
6
6

a＝－b.
解　(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.
(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，
第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元).
第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.
(3)∵＝2.5，＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，
∴b＝＝0.8，∴a＝5－2.5×0.8＝3.
因此线性回归方程为y＝0.8x＋3.
当x＝8时，y＝0.8×8＋3＝9.4.
∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元.