2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节

第2节　排列与组合
最新考纲　1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.

知 识 梳 理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
[常用结论与微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)
(4)kC＝nC.(　　)
解析　(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C＝C，则x＝m或n－m，故(3)错.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A.12 B.24 C.64 D.81
解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A＝24.
答案　B
3.(一题多解)(教材练习改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A.18 B.24 C.30 D.36
解析　法一　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30种.
法二　从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C－C－C＝30.
答案　C
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A.8 B.24 C.48 D.120
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.
答案　C
5.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).
解析　将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有AAA＝24种不同的展出方案.
答案　24

考点一　排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)(一题多解)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
解　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种).
(3)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
规律方法　排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】 (1)(2018·赤峰二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　)
A.120 B.240 C.360 D.480
(2)(2018·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)
A.30 B.600 C.720 D.840
解析　(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
(2)若只有甲、乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲、乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法.
答案　(1)C　(2)C
考点二　组合问题
【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【训练2】 (1)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有(　　)
A.80种 B.70种 C.40种 D.10种
(2)(2018·咸阳二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
解析　(1)Grace不参与该项任务，则有CC＝30种；Grace参与该项任务，则有C＝10种，故共有30＋10＝40种，故选C.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种).
答案　(1)C　(2)D

考点三　排列与组合的综合应用(多维探究)
命题角度1　简单的排列与组合应用问题
【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
(2)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A.24 B.18 C.12 D.6
解析　(1)由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA＝36(种).
(2)从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位(或百位)，从1，3，5中选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有A·A＝12种，故共有A＋AA＝18种.
答案　(1)D　(2)B
命题角度2　分组、分配问题
【例3－2】 (1)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)
A.80种 B.90种 C.120种 D.150种
(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
解析　(1)有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有
CA＝90种，∴共有150种，故选D.
(2)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法.
答案　(1)D　(2)90
规律方法　(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
【训练3】 (1)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
(2)(2018·合肥联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)
A.540 B.480 C.360 D.200
解析　(1)将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).
(2)由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50(种)排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4(种)满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个).
答案　(1)A　(2)D

基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有(　　)
A.180种 B.220种
C.240种 D.260种
解析　因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A·A＝240种.
答案　C
2.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)
A.24 B.48 C.60 D.72
解析　由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.
答案　D
3.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)
A.9 B.10 C.18 D.20
解析　由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，
∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.
从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－
lg b的不同值的个数有A－2＝18.
答案　C
4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(　　)
A.CA B.CA C.CA D.CA
解析　首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.
答案　C
5.(2018·潍坊模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
解析　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C·A·A＝96(种).
答案　C
6.(2018·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法种数为(　　)
A.10 B.16 C.20 D.24
解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法.
答案　C
7.(一题多解)(2018·石家庄模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72 B.120 C.144 D.168
解析　法一　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□，小品1，歌舞1，小品2，□，相声，□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□，小品1，□，相声，□，小品2，□”.有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
法二　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).
答案　B
8.(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(　　)
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
解析　2名内科医生，每村一名，有2种方法；3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有：则分1名外科医生、2名护士和2名外科医生、1名护士，若甲村有1名外科医生、2名护士，则有CC＝9(种)，其余的分到乙村；
若甲村有2名外科医生、1名护士，则有CC＝9(种)，其余的分到乙村；
则总的分配方案有2×(9＋9)＝36(种).
答案　B
二、填空题
9.(2018·开封模拟)某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答).
解析　若甲、乙同时参加，有CCCAA＝120种，若甲、乙有一人参与，有CCA＝960种，从而总共的发言顺序有1 080种.
答案　1 080
10.现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法(用数字作答).
解析　第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法.
根据分步乘法计数原理，排列方法共有CC＝1 260(种).
答案　1 260
11.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种(用数字作答).
解析　特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A种方案.故共有CA＝4×60＝240(种)方案.
答案　240
12.(2018·黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________(用数字作答).
解析　若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有CAA＝24种.
故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.
答案　60
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数为(　　)
A.C B.C C.C D.C
解析　首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空.对这39个空进行隔开成10部分，比如用9面小旗子隔开，就可以隔成10部分了，所以有C种分隔方法.
答案　D
14.“灯塔—党建在线”，深入学习党的十九大精神竞赛活动中，某单位甲、乙等5名参赛选手，甲和乙必须相邻出场且都不在开头和末尾出场，这5名选手不同的出场顺序共有(　　)
A.12种 B.24种 C.48种 D.120种
解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在首末出场有CAA种排法.
故甲乙相邻且都不在首末出场的顺序有AA－CAA＝24(种).
答案　B
15.(2018·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答).
解析　从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有C·C·C种.
故有N＝C·C·C·C＝20种调整方案.
答案　20
16.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素有________个(用数字作答).
解析　因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.
①xi(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C＝10个元素；
②xi中3个0，2个为－1或1，A有C×2×2＝40个元素；
③xi中2个0，3个为－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素；
从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素.
答案　130