2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第7章第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
[最新考纲]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．


1. 四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
拓展：公理3的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：(0°，90°]．
拓展：异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．

3．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系


(2)空间中平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行

α∥β
0个
两平面相交

α∩β＝l
无数 个
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． (　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面． (　　)
[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
C　[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．]
2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
C　[连接B1D1，D1C(图略)，
则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求的角，
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
3．下列命题正确的是(　　)
A．两个平面如果有公共点，那么一定相交
B．两个平面的公共点一定共线
C．两个平面有3个公共点一定重合
D．过空间任意三点，一定有一个平面
D　[如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点．]
4.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]

考点1　平面的基本性质及应用
　共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF