2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[最新考纲]　1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词和存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2．全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．

(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．

(3)p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则q”，否命题是“若p，则q”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题“3≥2”是真命题． (　　)

(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题． (　　)

(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)

(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． (　　)

[答案] 　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0　 B．∃x0∈R，x＋x0＜0

C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x＜0

B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B．]

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lg x0＝1　　　 B．∃x0∈R，sin x0＝0

C．∀x∈R，x3＞0   D．∀x∈R,2x＞0

C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C．]

3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1　　　　 B．2 

C．3　　　　 D．4

B　[p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]

4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．

存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]

考点1　全称命题、特称命题

(1)全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与特称命题真假的判断方法

　全称命题、特称命题的否定

(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0　　　　B．∃x＞0,0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0   D．∀x＜0,0≤x≤1

(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B．

(2)由特称命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]

　全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)，简记：改量词，否结论．

　全称命题、特称命题的真假判断

(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1＞0

C．∃x0∈R，lg x0＜1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(2)下列四个命题：

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3   B．p1，p4

C．p2，p3   D．p2，p4

(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．

(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数与对数函数在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数与对数函数在上的图象可以判断p4是真命题．]

　因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

　1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C．∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0

D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D．]

2．已知命题p：∃x0∈，使得cos x0≤x0，则p为________，是________命题．(填“真”或“假”)

∀x∈，都有cos x＞x　假　[p：∀x∈，都有cos x＞x，此命题是假命题．]

考点2　含有逻辑联结词的命题的真假判断

　判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤

(1)判断复合命题的结构；

(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；

(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．

　[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12．下面给出了四个命题

①p∨q　②p∨q　③p∧q　④p∧ q

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A．①③   B．①②

C．②③   D．③④

A　[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8．∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；

命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A．

法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．

∴①③真，②④假．故选A．]

　含逻辑联结词命题真假的等价关系

(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(p)∧(q)假；

(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(p)∧(q)真；

(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(p)∨(q)假；

(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(p)∨(q)真；

(5)p真⇔p假；p假⇔p真．

　1．(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy．下列命题为假命题的是(　　)

A．p∨q   B．p∧q

C．q   D．p

B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]

2．给定下列命题：

p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；

p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；

p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．

则下列命题中的真命题为(　　)

A．p1∨p2   B．p2∧p3

C．p1∨(p3)   D．(p2)∧p3

D　[对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝＋0＝1，f(－1)＝－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(p2)∧p3为真命题．]

考点3　由命题的真假确定参数的取值范围

　根据命题真假求参数的方法步骤

(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2．因此由p，q均为假命题得

即m≥2．

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

[母题探究]

1．(变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；

当q是真命题时，有－2＜m＜2，

由可得－2＜m＜0．

所以实数m的取值范围为(－2,0)．

2．(变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

[解]　若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时

所以m≤－2；

当p假q真时

所以0≤m＜2．

所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．

　根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．

(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．

　(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[－，]　[命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，

即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，

故Δ＝4a2－12≤0，

解得－≤a≤．]