2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第八章8.2空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.理解空间直线、平面位置关系的定义．
2.了解可以作为推理依据的公理和定理．
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题.



1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

概念方法微思考
1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示　不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．
2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？
提示　不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　)
(3)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)
(4)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　×　)
题组二　教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析　(1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题组三　易错自纠
4．(2019·上海市金山中学月考)设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么(　　)
A．直线l不平行于直线m
B．直线l与直线m异面
C．直线l与直线m没有公共点
D．直线l与直线m不垂直
答案　C
解析　∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，
又直线m在平面α上，
∴直线l与直线m没有公共点，
故选C.
5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案　D
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．

答案　3
解析　平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有且只有3对．

平面基本性质的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF 设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明　(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∵在△BCD中，＝＝，
∴GH∥BD，∴EF∥GH.
∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．
判断空间两直线的位置关系
例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
答案　D
解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
答案　D
解析　连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，

连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．
跟踪训练2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
答案　D
解析　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．故选D.
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
答案　③④
解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
求两条异面直线所成的角
例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，
即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

将本例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，试求的值．
解　设＝t(t>0)，则AA1＝tAB.
∵AB＝1，∴AA1＝t.
∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝
＝＝.
∴t＝3，即＝3.
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
跟踪训练3 (2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图①所示，连接AD1，B1D1，BD.

图①
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cos∠DAB＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
所以cos θ＝＝＝.
故选C.
方法二　以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图②所示．

图②
由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)．
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
故选C.


1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　A
解析　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
答案　C
解析　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
答案　C
解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　)

A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
答案　A
解析　连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
5．(2019·甘肃省、青海省、宁夏回族自治区联考)在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，

取N为OC的中点，连接MN，
所以OP∥MN，
则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．
因为OP⊥平面ABCD，
所以MN⊥平面ABCD，
因为在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4，底面是边长为2的正方形，
所以OC＝2，所以OP＝＝2，
因此MN＝，
在Rt△BON中，BN＝＝，
∴tan∠BMN＝＝，∴∠BMN＝60°，
则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.
6．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．
答案　6
解析　如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．

7．(2020·东北三省三校模拟)若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为________．
答案　l∥α或l⊂α
解析　∵直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，
∴直线l∥平面α，或者直线l⊂平面α.
8．在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．
答案　平行
解析　如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.

由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，
∴在△SMN中，＝，
∴G1G2∥MN，
易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，
∴G1G2∥BC.
9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

答案　
解析　取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案　①③
解析　如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.

11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解　取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
12.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

13．(2019·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．当|CD|＝2|AB|时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行
答案　B
解析　A选项：当|CD|＝2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B.
14.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．

答案　
解析　取DE的中点H，连接HF，GH.

由题意，HF∥AD且HF＝AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
在△GHF中，可求HF＝2，
GF＝GH＝2，
∴cos∠GFH＝
＝＝.

15.(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学联考)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．

答案　
解析　如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．

则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是.
16.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．
解　(1)方法一　如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，
所以OM∥EC.
又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB，
所以OM∥FB且OM＝EC＝FB，
所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，
故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
方法二　如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.

因为EC＝2FB＝2，
所以PE∥BF且PE＝BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB∥EF，PQ∥AE，
又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF.
又因为BQ⊂平面PBQ，
所以BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，
所以cos∠OFE＝＝＝，
所以BM与EF所成的角的余弦值为.