2021高考数学一轮复习学案：第二章2.10函数模型及其应用

§2.10　函数模型及其应用

1．几类函数模型

2.三种函数模型的性质

概念方法微思考

请用框图概括解函数应用题的一般步骤．

提示　解函数应用题的步骤

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　)

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　)

(3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使<x<logax0.(　×　)

(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　)

题组二　教材改编

2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．

答案　3

解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，

则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，

∴当x＝3时，y最大．

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．

答案　18

解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，

当x＝18时，L(x)有最大值．

4．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．

答案　

解析　由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，

又m·2t＋21－t≥2，∴2≥2，∴m≥.

题组三　易错自纠

5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6  B．9  C．8  D．7

答案　BC

解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求，

则×n≤，即n≤，

由nlg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，故选BC.

6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．

答案　－1

解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，

∴x＝－1.

7．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．

答案　200

解析　由题意知100＝alog3(2＋1)，

∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．

当x＝8时，y＝100log39＝200.

用函数图象刻画变化过程

1.(2019·武汉月考)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是(　　)

答案　B

解析　v＝f (h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

答案　D

解析　y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.

3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合(　　)

A．y＝ax＋b   B．y＝a＋b

C．y＝a·bx   D．y＝ax2＋bx＋c

答案　B

解析　根据散点图可知，选择y＝a＋b最适合．

思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

已知函数模型的实际问题

例　(1)(2020·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

答案　2 500

解析　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000

＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.

则当Q＝300时，L(Q)取得最大值为2 500万元．

(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．

②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

答案　①y＝　②0.6

解析　①设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，

则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．

由y＝t－a过点(0.1,1)，得1＝0.1－a，

解得a＝0.1，∴y＝t－0.1(t>0.1)．

②由t－0.1≤0.25＝，得t≥0.6.

故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．

思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关键点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

跟踪训练　(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f (m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．

答案　4.24

解析　∵m＝6.5，∴[m]＝6，

则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.

利用你选取的函数，求：

①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；

②最低种植成本是________元/100 kg.

答案　①120　②80

解析　因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得

解得

所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.

命题点1　构造二次函数模型

例1　某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)

A．[4,8]   B．[6,10]

C．[4%,8%]   D．[6%,10%]

答案　A

解析　根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，

整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．

命题点2　构造指数函数、对数函数模型

例2　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，

则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，

解得x＝1－.

(2)设经过m年剩余面积为原来的，

则a(1－x)m＝a，即，

即＝，解得m＝5.

故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？

解　设从今年开始，以后砍了n年，

则n年后剩余面积为a(1－x)n.

令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，

≥，即≤，解得n≤15.

故今后最多还能砍伐15年．

命题点3　构造“对勾函数”模型

例3　(1)(2019·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．

答案　5

解析　根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，

∴年平均利润＝12－，

∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立．

∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.

(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．

答案　2

解析　由题意可得BC＝－(2≤x<6)，

∴y＝＋≥2＝6.

当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．

命题点4　构造分段函数模型

例4　共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．

(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；

(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

解　(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，

则y＝

(2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，

故当x＝300时，ymax＝25 000；

当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，

故y<60 000－100×400＝20 000.

所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．

素养提升　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示．