2021高考数学一轮复习学案：第一章1.3全称量词与存在量词

§1.3　全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x) 概念方法微思考1．怎样判断一个存在性命题是真命题？提示　要判定存在性命题“∃x∈M，P(x)”，只需在集合M找到一个x，使P(x)成立即可．2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？提示　命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(　×　)(2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)(3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　)题组二　教材改编2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．答案　∃x∈R，x2＋x＋1≤03．命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是________．答案　∀x∈N，x2>04．命题“对于函数f (x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案　真解析　当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三　易错自纠5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　)A．∃x∈R，x2－x＋<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案　AC解析　由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案　③解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－1]解析　命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1]． 全称命题、存在性命题的真假例1　(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2答案　B解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．(2)下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)，；②∃x∈(0,1)，；③∀x∈(0，＋∞)，x>；④∀x∈，x<.其中真命题的序号为________．答案　②④解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；对于③，当0<x<时，>1>x，故③是假命题；对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．思维升华　判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．跟踪训练1　(1)下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0   B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1   D．∃x∈R，tan x＝2答案　B解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.(2)已知函数f (x)＝，则(　　)A．∃x∈R，f (x)<0B．∀x∈(0，＋∞)，f (x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2)答案　B解析　幂函数f (x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立． 含有一个量词的命题的否定1．已知命题p：“∃x∈R，－x－1≤0”，则綈p为(　　)A．∃x∈R，－x－1≥0B．∃x∈R，－x－1>0C．∀x∈R，ex－x－1>0D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案　C解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.  2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为(　　)A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案　C解析　“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．3．命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤24．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是____________________．答案　∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1思维升华　对全称命题、存在性命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定． 根据命题的真假求参数的取值范围例2　(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案　(－∞，－2]解析　由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案　解析　当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥.本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案　解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由题意得f (x)min≥g(x)max，即0≥－m，∴m≥.思维升华　(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2　(1)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案　1解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.(2)若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x)，则实数a的取值范围是________．答案　解析　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.