2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第11章第4讲　直接证明与间接证明


第4讲　直接证明与间接证明
[考纲解读]　1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．(重点)
2．能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：①反设；②归谬；③结论．(难点)
3．综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等．

[考向预测]　 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
→→…→
→→…→
文字
语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……
即证……

2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

1．概念辨析
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)
(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)要证明＋40，所以－2>－成立．
10．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
答案　cn＋10，且y－x>1，则，的值满足(　　)
A.，都大于1
B.，中至少有一个小于1
C.，都小于1
D．以上说法都不正确
答案　B
解析　∵x>0，y>0，且y－x>1，∴x1，
∴－x>1－y，∴1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.
答案　a，b，c，d全是负数
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求证：5a＝3b.
证明　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，又b>0，所以5a＝3b.
5．已知数列{an}各项均为正数，且不是常数列．
(1)若数列{an}是等差数列，求证：＋