2021届浙江省高考数学一轮学案：第四章第2节　导数与函数的单调性


第2节　导数与函数的单调性
考试要求　1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

知 识 梳 理
1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
[常用结论与易错提醒]
(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.
(2)有些初等函数(如f(x)＝x3＋x)的单调性问题也不必用导数.
(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号.
(4)注意函数、导函数的定义域.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(　　)
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，1] B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(0，＋∞)
解析　令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞).
答案　D
3.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　)

解析　根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C.
答案　C
4.若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则f(a)与f(b)的大小关系为________.
解析　f′(x)＝，当0＜x＜e时，1－ln x＞0，
即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，
∴f(a)＜f(b).
答案　f(a)＜f(b)
5.函数f(x)＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________.
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)0)，
当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得12，则下列结论正确的是(　　)
A.对于任意x∈R，f(x)0
C.当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)0
解析　由f(x)是定义在R上的减函数，得f′(x)2⇒(2－x)f′(x)－f(x)>0.令g(x)＝(2－x)f(x)，则g′(x)＝(2－x)f′(x)－f(x)>0，函数g(x)单调递增，又g(2)＝0，则当x