2021版高考物理（基础版）一轮复习学案：第九章　3第三节　带电粒子在复合场中的运动

第三节　带电粒子在复合场中的运动
[学生用书P202]
【基础梳理】
　
提示：场力　电场力　洛伦兹力　牛顿运动定律　能量守恒定律
【自我诊断】
1．判一判
(1)带电粒子在匀强磁场中只受洛伦兹力和重力时，不可能做匀加速直线运动．(　　)
(2)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态．(　　)
(3)带电粒子在复合场中不可能做匀速圆周运动．(　　)
(4)不同比荷的粒子在质谱仪磁场中做匀速圆周运动的半径不同．(　　)
(5)粒子在回旋加速器中做圆周运动的半径、周期都随粒子速度的增大而增大．(　　)
(6)在速度选择器中做匀速直线运动的粒子的比荷可能不同．(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
2．做一做
(1)(2018·高考北京卷)某空间存在匀强磁场和匀强电场．一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动．下列因素与完成上述两类运动无关的是(　　)
A．磁场和电场的方向　　　 B．磁场和电场的强弱
C．粒子的电性和电荷量 D．粒子入射时的速度
提示：选C.在匀强磁场和匀强电场的叠加区域内，一个带电粒子射入后做匀速直线运动，则它受的洛伦兹力和
电场力大小相等、方向相反，即qvB＝qE，故v＝，因此粒子的运动，与粒子的电性和电荷量均无关，C正确．

(2)如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域．不计重力，则(　　)
A．若电子从右向左飞入，电子也沿直线运动
B．若电子从右向左飞入，电子将向下偏转
C．若电子从左向右飞入，电子将向下偏转
D．若电子从左向右飞入，电子也沿直线运动
提示：选D.若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏，A、B错误；若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动，D正确，C错误．

　带电粒子在组合场中的运动[学生用书P202]
【知识提炼】
1．组合场中的两种典型偏转


垂直电场线进入匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力
情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动
轨迹


求解
方法
利用类似平抛运动的规律求解：
vx＝v0，x＝v0t
vy＝t，y＝t2
偏转角φ：
tan φ＝＝
半径：r＝
周期：T＝
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系，利用圆周运动规律讨论求解
运动
时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
2.常见模型
(1)从电场进入磁场

电场中：加速直线运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动

电场中：类平抛运动
⇓
磁场中：匀速圆周运动

(2)从磁场进入电场

磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：匀变速直线运动
(v与E同向或反向)

磁场中：匀速圆周运动
⇓
电场中：类平抛运动
(v与E垂直)

【典题例析】
(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核 H和一个氘核 H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知 H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求
(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．
[解析]　(1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设H在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1.由运动学公式有
s1＝v1t1①
h＝a1t②
由题给条件，H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1＝60°.H进入磁场时速度的y分量的大小为
a1t1＝v1tan θ1③
联立以上各式得s1＝h.④
(2)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma1⑤
设H进入磁场时速度的大小为v′1，由速度合成法则有
v′1＝⑥
设磁感应强度大小为B，H在磁场中运动的圆轨迹半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qv′1B＝⑦
由几何关系得s1＝2R1sin θ1⑧
联立以上各式得B＝.⑨
(3)设H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得
(2m)v＝mv⑩
由牛顿第二定律得qE＝2ma2⑪
设H第一次射入磁场时的速度大小为v′2，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2.由运动学公式有
s2＝v2t2⑫
h＝a2t⑬
v′2＝⑭
sin θ2＝⑮
联立以上各式得
s2＝s1，θ2＝θ1，v′2＝v′1⑯
设H在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
R2＝＝R1⑰
所以出射点在原点左侧．设H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s′2，由几何关系有
s′2＝2R2sin θ2⑱
联立④⑧⑯⑰⑱式得，H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
s′2－s2＝(－1)h.
[答案]　见解析
【迁移题组】
迁移1　由电场进磁场
1．(2020·湖南怀化高考一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界矩形匀强磁场区域(图中未画出)；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x轴上坐标为(－L，0)的A点，粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v0的电子，电子通过y轴上的C点时速度方向与y轴正方向成α＝45°角，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成 β＝15°角的射线OM.已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)电子在电场和磁场中运动的总时间t；
(3)矩形磁场区域的最小面积Smin.
解析：(1)电子从A到C的过程中，由动能定理得：
eEL＝mv－mv
又有vCcos α＝v0，联立解得：E＝.
(2)电子在电场中做类平抛运动，沿电场方向有：
L＝t1，其中vC＝
由数学知识知电子在磁场中的速度偏向角等于圆心角：
θ＝π－α－β＝
电子在磁场中的运动时间
t2＝T，其中T＝，
电子在电场和磁场中运动的总时间t＝t1＋t2，联立解得：t＝＋.
(3)电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有evCB＝m
最小矩形区域如图所示，
由数学知识得：CD＝2r·sin ，CQ＝r－rcos ，矩形区域的最小面积：Smin＝CD·CQ，
联立解得：Smin＝.
答案：(1)　(2)＋　(3)
迁移2　由磁场进电场
2.(2020·河南开封模拟)如图所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场垂直纸面向里．在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．求
(1)圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．
解析：(1)沿＋x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图的P点射出磁场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径
r＝R＝0.5 m
根据Bqv＝，得r＝，得B＝，代入数据得
B＝0.2 T.
(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场，MN为直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长s1＝πR　
设在电场中的路程为s2，根据动能定理得
Eq＝mv2，s2＝
总路程s＝πR＋，
代入数据得s＝(0.5π＋1)m.
答案：(1)0.2 T　(2)(0.5π＋1)m
迁移3　先后进入多个电场和磁场
3.(2020·江西十所省重点高中二模)如图所示，在纸面内有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC为两磁场的理想边界．已知三角形ABC边长为L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场．一电荷量为＋q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力．
(1)要使粒子从P点射出后在最短时间内通过B点，则从P点射出时的速度v0为多大？
(2)满足(1)问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少？
(3)满足(1)问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少？画出粒子的轨迹并计算．
解析：(1)当粒子运动半个圆周到达B点时所用时间最短，此时粒子做圆周运动半径r＝，根据洛伦兹力提供向心力可得r＝，解得v0＝；
(2)粒子做圆周运动半径r＝，由几何关系可知：设过B点后第三次通过磁场边界时到B点的距离为s，s＝3r＝；
(3)粒子运动轨迹如图

粒子在磁场中运动的周期T＝，由图可知从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为tmin＝T＝.
答案：(1)　(2)　(3)见解析

“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
　
　带电粒子在叠加场中的运动[学生用书P204]
【知识提炼】
1．带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式
受力特点
运动性质
方法规律
其他场力的合力与洛伦兹力等大反向
匀速直线运动
平衡条件
除洛伦兹力外，其他力的合力为零
匀速圆周运动
牛顿第二定律、圆周运动的规律
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向
较复杂的曲线运动
动能定理、能量守恒定律
2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：
(1)分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运动情况．
(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解．
①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解．
②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解．
③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解．
【典题例析】

如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里．一电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场．不计一切阻力，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)粒子在复合场中的运动时间．

[解析]　(1)微粒在到达A(l，l)之前做直线运动，因粒子受洛伦兹力，所以粒子做匀速直线运动，受力分析如图甲所示，根据平衡条件，有qE＝mg，解得E＝.
　　
(2)根据平衡条件，有qvB＝mg；电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙所示，根据牛顿第二定律，有
qvB＝m
由几何关系可得r＝l
联立解得v＝，B＝.
(3)微粒做匀速直线运动的时间为
t1＝＝
做圆周运动的时间为
t2＝＝π
在复合场中运动时间为
t＝t1＋t2＝.
[答案]　(1)　(2)　(3)
【迁移题组】
迁移1　电场与磁场共存
1.

在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子(　　)
A．一定带正电
B．速度v＝
C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出
D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动
解析：选B.粒子带正电和负电均可，A错误；由洛伦兹力等于电场力，可得qvB＝qE，解得速度v＝，B正确；若速度v＞，粒子可能从板间射出，C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，D错误．
迁移2　磁场与重力场共存
2.(多选)(2020·山东济南高三模拟)如图所示，竖直平面MNRS的右侧存在竖直向上、范围足够大的匀强磁场．从平面MNRS上的O点处以初速度v0＝10 m/s垂直MNRS面向右抛出一带电荷量为q、质量为m的小球，若磁感应强度B＝，g取10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．小球离开磁场时的速度大小为10 m/s
B．小球离开磁场时的速度大小为10 m/s
C．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为 m
D．小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为 m
解析：选AD.小球在磁场中，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动，小球运动的周期T＝＝2 s，则小球离开磁场时运动的时间为t＝＝1 s，下落的高度h＝gt2＝5 m，小球从进入磁场到离开磁场，由动能定理：mv2＝mv＋mgh，解得小球离开磁场时的速度大小v＝10 m/s，A正确，B错误；小球做圆周运动的
半径r＝＝，则小球离开磁场时的位置与抛出点的距离为s＝＝ m，C错误，D正确．
迁移3　电场、磁场与重力场共存

3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)

A．ma＞mb＞mc　　　　　 B．mb＞ma＞mc
C．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma
解析：选B.该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝.b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝＋.c在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝－.综上所述，可知mb>ma>mc，B正确．
　带电粒子在交变场中的运动[学生用书P205]
【知识提炼】
1．解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特点，对粒子的运动情景、运动性质做出判断．
2．这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系．
3．带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律．
【跟进题组】
1．如图甲所示，间距为d的两平行板P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、v0为已知量．
　
(1)若Δt＝TB，求B0；
(2)若Δt＝TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.
解析：(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，洛伦兹力提供向心力，则有qv0B0＝①
据题意由几何关系得R1＝d②
联立①②式得B0＝.③
(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得a＝④
据题意由几何关系得3R2＝d⑤
联立④⑤式得a＝.⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝⑦
由牛顿第二定律得qv0B0＝⑧
由题意知B0＝，
代入⑧式得d＝4R⑨

粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且要求0