2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第35课__不等式的解法

____第35课__不等式的解法____

1. 理解一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数之间的关系．

2. 熟练掌握一元二次不等式的解法，善于运用数形结合解不等式．

3. 能够利用同解变形解决分式不等式、高次不等式以及指对数不等式，逐步形成等价转化思想．

4. 会解含参数的不等式，能够对参数进行分类讨论.

1. 阅读：必修5第75～80页．

2. 解悟：①二次函数图象、一元二次不等式的解与一元二次方程的解有怎样的内在联系？②阅读教材第80页第11题，体现了不等式怎样进行转化？

3. 践习：在教材空白处，完成必修5第77页练习第4、5、6题.

　基础诊断　

1. 函数y＝的定义域是__(－∞，－4]∪[3，＋∞)__．

解析：由x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3，所以函数y＝的定义域为(－∞，－4]∪[3，＋∞)．

2. 不等式2x2＋2x－4≤的解集为__[－3，1]__．

解析：因为2x2＋2x－4≤，所以2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以原不等式的解集为[－3，1]．

3. 不等式≤0的解集为____.

解析：因为≤0，所以或解得－<x≤1，则原不等式的解集为.

4. 若二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a＝__－3__，b＝__－2__．

解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，所以方程ax2＋bx＋1＝0的解为－1和，所以解得

　范例导航　

考向❶  解不等式

　例1　解下列关于x的不等式：

(1) 2x2＋4x＋5>0；

(2) x2－2ax－3a2<0(a<0)；

(3) ≤2.

解析：(1) 因为Δ＝42－4×2×5＝－24<0，

所以方程2x2＋4x＋5＝0没有实数根，

所以不等式2x2＋4x＋5>0恒成立，

所以不等式2x2＋4x＋5>0的解集为R.

(2) 因为x2－2ax－3a2＝0，

所以x1＝3a，x2＝－a.

又因为a<0，所以不等式解集为{x|3a<x<－a}. 

(3) 原不等式化为－2≤0，即≤0，即≥0，等价于(x＋3)(x＋8)≥0，且x≠－3,

所以原不等式解集为{x|x≤－8或x>－3}．

解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.

解析：当a＝0时，不等式为－x＋1<0，所以不等式解集为(1，＋∞);

当a≠0时，原不等式化为a(x－1)·<0.

①当a<0时，<0<1，不等式为(x－1)(x－)>0，其解集为.

②当0<a<1时，>1，不等式为(x－1)(x－)<0，其解集为{x|1<x<}．

③当a＝1时，不等式为(x－1)(x－1)<0，其解集为∅.

④当a>1时，<1，不等式为(x－1)(x－)<0，其解集为{x|<x<1}.

考向❷  一元二次不等式的恒成立问题

例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1) 若关于x的不等式f(x)<0的解集为R，求实数m的取值范围；

(2) 若对于x∈[1，3], f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．

解析：(1) ①当m＝0时，f(x)<0，即为－1<0，其解集为R，符合题意；

②当m≠0时，f(x)<0恒成立，即为mx2－mx－1<0恒成立，

由 解得－4<m<0，

综上，所求m的取值范围为(－4，0]．

(2) f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立，即mx2－mx－1<－m＋5，

化为mx2－mx＋m－6<0在[1，3]上恒成立．

方法一：若m＝0，不等式为－6<0，显然成立；

若m<0，由二次函数g(x)＝mx2－mx＋m－6＝m(x－)2＋m－6可知，

g(x)在[1，3]上为减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6，由m－6<0得m<6，

故m<0时，f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立；

若m>0，由二次函数g(x)＝mx2－mx＋m－6＝m(x－)2＋m－6可知，

g(x)在[1，3]上为增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，由7m－6<0得m<，

故0<m<时，f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立．

综上，所求m的取值范围为m<.

方法二：若m＝0，不等式为－6<0，显然成立；

若m≠0，因为x2－x＋1>0，所以将mx2－mx＋m<6化为m<.

令函数h(x)＝＝，由x∈[1，3]，得≤h(x)≤6，

所以所求m的取值范围为m<.

若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围为__[－1，4]__．

解析：令f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4.若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

考向❸  一元二次不等式的应用

例3　一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．

(1)  该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？

(2)  当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？

解析：(1)  由题意知月利润y＝px－R，

所以y＝(160－2x)x－(500＋30x)，即y＝－2x2＋130x－500.

由月利润不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45.

故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元．　

(2)  由(1)得y＝－2x2＋130x－500＝－2(x－)2＋，

由题意知，x为正整数．

故当x＝32或33时，y最大为1 612.

所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．

某商场若将进货单价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？

解析：设每件提高x元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y元，由题意有

y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360，

所以当x＝4时，ymax＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．

要使每天利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－<x<4＋.

故每件定价在4－元到4＋元之间时，能确保每天赚300元以上．

　自测反馈　

1. 已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≥x2的解集为__[－1，1]__．

解析：当x≤0时，f(x)＝x＋2，代入不等式得x＋2≥x2，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，所以原不等式的解集为[－1，0]；当x>0时，f(x)＝－x＋2，代入不等式得－x＋2≥x2，即x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，所以原不等式的解集为(0，1]．综上，不等式f(x)≥x2的解集为[－1，1]．

2. 1<|x＋2|<5的解集为__(－7，－3)∪(－1，3)__．

解析：由1<|x＋2|<5可得所以不等式组的解集为{x|－7<x<－3或－1<x<3}．

3. 已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，那么不等式f(－2x)<0的解集是__∪__．

解析：因为不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，所以(ax－1)(x＋b)>0，所以(－ax＋1)(x＋b)<0，所以a＝－1，b＝－3，所以f(－2x)＝[－(－2x)－1][(－2x)－3]<0，解得x>或x<－.

4. 当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－5]__．

解析：根据题意可构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈(1，2)．因为当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，即解得即m≤－5.综上，m的取值范围为(－∞，－5]．

1. 不等式的解法，理清其步骤，体会等价转化、数形结合、分类讨论等各种数学方法．

2. 解含参数不等式时，要根据参数的取值范围进行分类讨论．

3. 你还有哪些体悟，写下来：