2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第18课__导数的概念与几何意义

第三章　导数及其应用

____第18课__导数的概念与几何意义____

1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度，瞬时加速度，光滑曲线切线的斜率等)；了解导函数的概念．

2. 了解平均变化率，瞬时变化率与导数的关系，理解函数在一点处导数的定义和导数的几何意义.

1. 阅读：选修11第67～79页．

2. 解悟：①理解教材第68页的例3和第69页的例4，并能说明例3中区间的选择对平均变化率的影响，例4中一次函数在给定区间上的平均变化率有什么特点？②教材第71页的例1你会做吗？如果将问题变为：已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又该怎么求？

3. 践习：在教材空白处，完成教材第70页练习第5题，第73页练习第5题，第76页练习第4题，第77～78页习题第4、11题.

　基础诊断　

1.  如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝__2__．

解析：由图象可知，f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)为函数y＝f(x)的图象在点P处的切线的斜率，所以f′(5)＝－1，所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.

2. 曲线y＝在点处的切线方程为__x－4y＋1＝0__．

解析：因为y＝，所以y′＝，所以当x＝1时，y′＝，所以在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即x－4y＋1＝0，故所求的切线方程为x－4y＋1＝0.

3. 曲线y＝x2上切线倾斜角为的点的坐标为____．

解析：因为y＝x2，所以y′＝2x.因为曲线y＝x2上切线的倾斜角为，所以切线的斜率为1，所以2x＝1，即x＝，y＝x2＝，所以所求点的坐标为.

4. (1) 曲线y＝x＋sinx在点(0，0)处的切线方程是__2x－y＝0__；

解析：由题意可得点(0，0)在曲线y＝x＋sinx上，y′＝1＋cosx，当x＝0时，y′＝1＋cos0＝2，所以过点(0，0)的切线的斜率为2，所以切线方程为y－0＝2(x－0)，即2x－y＝0.

(2) 已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是__9__．

解析：由题意知，点A(0，16)不在函数f(x)＝x3－3x的图象上，所以设切点的坐标为(x0，x－3x0)．因为f′(x)＝3x2－3，所以f(x)＝x3－2x在点(x0，x－3x0)处的切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，把点A(0，16)代入得16－x＋3x0＝(3x－3)(0－x0)，解得x0＝－2，所以所求的切线方程为y＝9x＋16，所以a的值为9.

　范例导航　

考向❶  会利用定义法求导数

例1　已知函数y＝f(x)＝2x2＋1.

(1) 求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值；

(2) 利用导数的定义求函数y＝f(x)在x＝1处的导数．

解析：(1) 函数y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，

当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为5.

(2) x＝1时，平均变化率为4＋2Δx，则当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以函数y＝f(x)在x＝1处的导数为4.

利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．

解析：由题意得，＝＝＝＝

－.

当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1，

所以函数f(x)在x＝1处的导数为－.

考向❷  导数几何意义的综合应用

例2　已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求实数a，b的值；

(2) 若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

解析： 根据题意可求得f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1) 由题意得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2) 因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a·(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，

即4a2＋4a＋1>0，

故a≠－，即实数a的取值范围为(－∞，－)∪(－，＋∞)．

若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__(－∞，0)__．

解析：因为f′(x)＝2ax＋(x>0)，又因为曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，所以f′(x)＝2ax＋＝0有正解，即a＝－.因为－<0，所以a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0).

考向❸  求曲线的切线方程问题

例3　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1) 求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2) 求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解析：(1)  因为f′(x)＝3x2－8x＋5，

所以f′(2)＝1.又f(2)＝－2，

所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

(2) 设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，

因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，

所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)．

又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4),

所以x－4x＋5x0－4－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x0－2)，解得x0＝2或x0＝1，

所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

　自测反馈　

1. 设P为函数f(x)＝图象上的任意一点，且f(x)在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为____．

解析：由题意得，f′(x)＝(3x2＋)≥，当且仅当3x2＝时取等号，所以过函数f(x)＝图象上的任意一点P的切线的斜率k≥，即tanα≥，≤α<，所以α的取值范围为.

2. 已知P，Q为抛物线x2＝2y上的两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过点P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__－4__．

解析：由题意得，点P(4，8)，Q(－2，2)，因为x2＝2y，所以y＝，所以y′＝x，所以切线AP的方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8，切线AQ的方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，联立方程组解得故点A的纵坐标为－4.

3. 若物体位移s(m)关于时间t(s)的关系式为s(t)＝3t2－2t，则当t＝3 s时，该物体的速度为__16__m/s，加速度为__6__m/s2.

解析：由题意得，s′(t)＝6t－2，当t＝3时，s′＝3×6－2＝16，所以当t＝3s时，该物体的速度为16m/s；s″(t)＝6，所以加速度为6m/s2.

4. 若直线y＝3x＋1是曲线y＝ax3的切线，则a＝__4__．

解析：设切点为(x0，3x0＋1)，由题意得，y′＝3ax2，所以3ax＝3，即a＝.又因为点(x0，3x0＋1)在曲线y＝ax3上，所以3x0＋1＝ax，即3x0＋1＝x0，解得x0＝－，所以a＝4.

1. 导数的几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．

2. 函数在某点处(或过某点)的切线，与该点的位置有关，曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，或者无穷多，求切线问题的突破口是找切点．

3. 你还有哪些体悟，写下来：