2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第19讲导数的综合应用——导数与方程


第19讲　导数的综合应用——导数与方程
　　　　　　　　　　　


1．能利用导数研究一般函数的单调性、极值与最值，获得对函数的整体认识．
2．会利用导数研究一般函数的零点及其分布．

知识梳理
1．函数零点的有关知识
(1)零点的概念：函数的零点是函数图象与x轴交点的　横坐标　.
(2)几个常用结论：
①f(x)有零点y＝f(x)的图象与x轴有　交点　方程f(x)＝0有　实数解　.
②F(x)＝f(x)－g(x)有零点y＝f(x)与y＝g(x)的图象有　交点　方程f(x)＝g(x)有　实数解　.
③零点存在定理：f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)0，故选项D正确．
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的零点个数为(D)
A．0　　　　　　　　　　B．1
C．2 D．3
　 因为f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增

单调递减
－
单调递增
由此可得到f(x)的大致图象(如下图)．

由图可知f(x)有3个零点．
3．若方程x3－4x＋4＋a＝0有3个不同的解，则a的取值范围为(B)
A．(－，) B．(－，)
C．[－，] D．[－，]
　 x3－4x＋4＋a＝0有3个不同的解⇔f(x)＝x3－4x＋4与g(x)＝－a有3个不同的交点．
利用第2题图可知，－0，即a×－3×＋1>0，
化简得a2>4，又a0；
②存在s1∈(－∞，－ln a)，满足f(s1)0，解得0