2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第五章机械能第4讲

第4讲　功能关系　能量守恒定律

一、几种常见的功能关系及其表达式
力做功
能的变化
定量关系
合力的功
动能变化
W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功
重力势能变化
(1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功
弹性势能变化
(1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力做功
机械能不变化
机械能守恒ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功
机械能变化
(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少
(3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力的总功
机械能减少
内能增加
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加
(2)摩擦生热Q＝Ff·x相对

自测1　升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动
5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．升降机对物体做功5 800 J
B．合外力对物体做功5 800 J
C．物体的重力势能增加500 J
D．物体的机械能增加800 J
答案　A
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增．
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
自测2　如图1所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，现在最低点C施加一竖直向下的力将绳索缓慢拉到D点，在此过程绳索AB的重心位置将(　　)

图1
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低后升高 D．始终不变
答案　A
解析　由题意知外力对绳索做正功，故机械能增加，重心升高，故选A.

命题点一　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功的绝对值等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
例1　(多选)如图2所示，一水平传送带以速度v匀速运动，将质量为m的小工件轻轻放到水平传送带上，工件在传送带上滑动一段时间后与传送带保持相对静止，在上述过程中(　　)

图2
A．工件对传送带做功为－mv2
B．传送带与工件间摩擦产生热量为mv2
C．传送带因为传送工件需要多做的功为mv2
D．传送带对工件做的功为mv2
答案　BCD
解析　根据牛顿第二定律知工件的加速度大小为：a＝＝μg，工件的速度由零增大到v用时为：t＝＝，该时间内传送带的位移为：x＝vt＝，所以工件对传送带做功为：Wf＝
－Ffx＝－μmg·＝－mv2，故A错误；传送带与工件间相对位移大小为：Δx＝vt－＝，摩擦产生热量为：Q＝μmgΔx＝μmg·＝mv2，故B正确；传送带因为传送工件需要多做的功为：W＝Q＋mv2＝mv2，故C正确；在运动的过程中只有摩擦力对工件做功，由动能定理可知，摩擦力对工件做的功等于工件动能的变化，即mv2，故D正确．
变式1　如图3甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B(可看成质点)以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面．由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)

图3
A．木板获得的动能为2 J
B．系统损失的机械能为4 J
C．木板A的最小长度为2 m
D．A、B间的动摩擦因数为0.1
答案　D
解析　由题图乙可知，第1 s内A、B的加速度大小都为1 m/s2，根据牛顿第二定律知二者质量相等，木板获得的动能为1 J，选项A错误；系统损失的机械能ΔE＝mv－·2m·v2＝2 J，选项B错误；由v－t图象可求出二者相对位移大小为1 m，选项C错误；分析B的受力，根据牛顿第二定律，可求出μ＝0.1，选项D正确．
命题点二　功能关系的理解与应用
1．只涉及动能的变化用动能定理分析．
2．只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．
3．只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
例2　(2018·无锡市期中)如图4所示，楔形木块固定在水平面上，斜面AB、BC与水平面的夹角分别为53°、37°.质量分别为2m、m的两滑块P、Q通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮连接，轻绳与斜面平行．已知滑块P与AB间的动摩擦因数为，其他摩擦不计，在两滑块运动的过程中(　　)

图4
A．Q动能的增加量等于轻绳对Q做的功
B．Q机械能的增加量等于P机械能的减少量
C．P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量
D．P克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对Q做的功
答案　D
解析　在两滑块运动的过程中，Q沿斜面上升，轻绳的拉力和重力都对Q做功，由动能定理知Q动能的增加量等于轻绳对Q做的功与重力做功的代数和，故A错误．由于P下滑过程中要产生内能，所以Q机械能的增加量与系统摩擦产生的内能之和等于P机械能的减少量，故B错误．根据能量守恒定律知，P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量与Q机械能的增加量之和，故C错误．由题图可知，P与Q位移的大小是相等的，绳子对P与对Q的拉力大小也相等，所以P克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对Q做的功，故D正确．
变式2　(多选)如图5所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体(　　)

图5
A．重力势能增加了mgh
B．机械能损失了mgh
C．动能损失了mgh
D．克服摩擦力做功mgh
答案　AB
命题点三　能量守恒定律的应用
1．两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定有另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等，即ΔE减＝ΔE增．
(2)某个物体的能量减少，一定有别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等，即ΔEA减＝ΔEB增．
2．解题思路
(1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律．
(2)解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
例3　(2018·徐州市期中)如图6所示，水平轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，OA之间的水平面光滑．固定曲面在B处与水平面平滑连接．AB之间的距离s＝1 m．质量m＝0.2 kg的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与AB水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.现给物块一个水平向左v0＝5 m/s的初速度，重力加速度g取10 m/s2.

图6
(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能Ep；
(2)求物块返回B点时的速度大小；
(3)若物块能冲上曲面的最大高度h＝0.2 m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量．
答案　(1)1.7 J　(2)3 m/s　(3)0.5 J
解析　(1)物块从B向左经过A到将弹簧压到最短的过程，根据功能关系，有：
－μmgs－Ep＝0－mv，
解得：Ep＝mv－μmgs＝×0.2×52 J－0.4×0.2×10×1 J＝1.7 J；
(2)物块从B向左开始到向右返回B的过程，根据动能定理，有：－μmg·2s＝mv－mv，
解得：v1＝＝ m/s＝3 m/s；
(3)对物块从向右经过B到最高点过程，根据能量守恒定律，有：
mv＝Q＋mgh
代入数据解得：Q＝0.5 J.



变式3　(2018·扬州市一模)如图7所示，在某电视台举办的冲关游戏中，AB是处于竖直平面内的光滑圆弧轨道．半径R＝1.6 m，BC是长度为L1＝3 m的水平传送带，CD是长度为L2＝3.6 m的水平粗糙轨道，AB、CD轨道与传送带平滑连接，参赛者抱紧滑板从A处由静止下滑．参赛者和滑板可视为质点，参赛者质量m＝60 kg，滑板质量可忽略，已知滑板与传送带、水平轨道的动摩擦因数分别为μ1＝0.4、μ2＝0.5，g取10 m/s2，求：

图7
(1)参赛者运动到圆弧轨道B处对轨道的压力大小；
(2)若参赛者恰好能运动至D点，求传送带运转速率及方向；
(3)在第(2)问中，传送带由于传送参赛者多消耗的电能．
答案　(1)1 200 N　(2)6 m/s　顺时针转动　(3)720 J
解析　(1)参赛者从A到B的过程，由机械能守恒定律得：mgR(1－cos 60°)＝mv，
代入数据得：vB＝4 m/s
在B点，对参赛者，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
代入数据得：FN＝1 200 N
由牛顿第三定律知参赛者运动到圆弧轨道B处对轨道的压力大小为：FN′＝FN＝1 200 N
(2)参赛者由C到D的过程，由动能定理得：
－μ2mgL2＝0－mv，解得：vC＝6 m/s>vB＝4 m/s
所以传送带运转方向为顺时针方向．
假设参赛者在传送带上一直加速，设到达C点的速度为v，由动能定理得：μ1mgL1＝mv2－
mv
解得：v＝2 m/s> v C＝6 m/s，
故假设不成立，参赛者在传送带上先匀加速到6 m/s，再做匀速运动，所以传送带速率为6 m/s.
(3)参赛者在传送带上做匀加速运动的时间为：
t＝＝＝ s＝0.5 s
此过程中参赛者与传送带间的相对位移大小为：
Δx＝vCt－t＝t＝×0.5 m＝0.5 m
传送带由于传送参赛者多消耗的电能为：
E＝μ1mgΔx＋
代入数据解得E＝720 J.

1．(2018·泰州中学期中)如图8，跳伞员跳伞后最初一段时间降落伞并不张开，跳伞员在重力和空气阻力作用下做加速运动，下落一定高度后，降落伞张开，跳伞员做减速运动，速度降至一定值后便不再降低，跳伞员以这一速度匀速下降．在跳伞过程中，下列说法中正确的是(　　)

图8
A．降落伞张开后到落地的过程中，跳伞员始终处于超重状态
B．跳伞员在整个下落过程中机械能一直减小
C．跳伞员在整个下落过程中机械能先增大后减小
D．如果在下落过程中，受到水平吹来的风，跳伞员将做平抛运动
答案　B
2．(2018·扬州中学月考)如图9所示，图甲为水平传送带，图乙为倾斜传送带，两者长度相同，均沿顺时针方向转动，转动速度大小相等，将两个完全相同的物块分别轻放在图甲、乙传送带上的A端，两物块均由静止开始做匀加速运动，到B端时均恰好与传送带速度相同，则下列说法正确的是(　　)

图9
A．图甲中物块运动时间小于图乙中物块运动时间
B．图甲、乙中传送带和物块间因摩擦产生的热量相等
C．图甲、乙中传送带对物块做的功都等于物块动能的增加量
D．图甲、乙中传送带对物块做的功都等于物块机械能的增加量
答案　D
解析　设传送带长度为L，速度为v，根据L＝t，知t＝，L、v相等，所以时间t相等，故A错误；物块与传送带间的相对位移Δx＝vt－L＝L，可知相对位移大小相等，由a＝，知加速度大小相等．根据牛顿第二定律得：题图甲中有Ff1＝ma，题图乙中有Ff2－mgsin α＝ma，可得Ff1v2，已知传送带的速度保持不变，则(　　)

图7
A．物块在0～t1内运动的位移比在t1～t2内运动的位移小
B．若物块与传送带间的动摩擦因数为μ，那么μ