2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第三章第二节导数的简单应用第一课时　导数与函数的单调性


第二节导数的简单应用
1．函数的单调性与导数的关系
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔
(a，b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)开区间上的单调连续函数无最值．,
(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．
(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.
f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.
[熟记常用结论]
(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、选填题
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　　 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析：选D　∵f′(x)＝－sin x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数．
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D　函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.
3．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)

A．1　　　　 B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

解析：选A　如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在x＝c附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.
4．函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
解析：f′(x)＝6x2－4x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，
∴函数f(x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是8.
答案：8
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a，由题意知f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，又x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
第一课时　导数与函数的单调性

[题组练透]
1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
解析：选D　因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝ln x＋1(x＞0)，
当f′(x)＞0时，解得x＞，
即函数f(x)的单调递增区间为；
当f′(x)＜0时，解得0＜x＜，
即函数f(x)的单调递减区间为，故选D.
2．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．
解析：设幂函数f(x)＝xa，因为图象过点，
所以＝a，a＝2，
所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，
则g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)，
令g′(x)＜0，得－2＜x＜0，
故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．
答案：(－2,0)
3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是___________________________________________________________．
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x＞0(x∈(－π，π))，
解得－π＜x＜－或0＜x＜，
即函数f(x)的单调递增区间是和.
答案：和
[名师微点]
利用导数求函数单调区间的3种方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

[典例精析]
(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln x，讨论f(x)的单调性．
[解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
①当a≤2时，则f′(x)≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞2时，令f′(x)＝0，
得x＝或x＝.
当x∈∪时，
f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
[解题技法]
含参函数单调性的求法
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．
(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．
(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．

[过关训练]
已知函数g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
解：(1)g′(x)＝＋2ax＋b(x＞0)．
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，
得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，所以b＝－2a－1.
(2)由(1)得
g′(x)＝＝.
因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以当a＝0时，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜，由g′(x)＜0，得＜x＜1，
即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0，得x＞或0＜x＜1，
由g′(x)＜0，得1＜x＜，
即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可得，当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜时，函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；
当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞时，函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．

[典例精析]
(1)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．
(2)若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围为________．
[解析]　(1)函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
由(1)知G(x)＝－，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
答案：(1)　(2)∪(0，＋∞)

　　
1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在[1,4]上单调递增”，则a的取值范围为________．
解析：因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，即a≤－恒成立，
又因为当 x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在[1,4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为________．
解析：因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以h′(x)＜0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a＞－有解，
而当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a＞－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(0，＋∞)
3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”，则a的取值范围为________．
解析：因为h(x)在[1,4]上不单调，
所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝－＝2－1在(1,4)上有解，
令m(x)＝－，x∈(1,4)，则－1＜m(x)＜－.
所以实数a的取值范围是.
答案：
[解题技法]
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
[过关训练]
1．(2019·渭南质检)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4，①
f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.
由题意可得f′(1)·＝－1，即3a＋2b＝9.②
联立①②两式解得a＝1，b＝3，
∴f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x.
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.
∵函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，
∴[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，
∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.
答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，
则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，又a＞0，
所以0＜a≤或a≥1.
答案：∪[1，＋∞)