四川省成都七中2021届高三上学期入学考试 数学文（含答案）

成都七中 2021 届高三上期入学考试

文科数学

考试时间：120分钟    总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数的模是（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．已知命题，；命题，，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

4．抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（    ）

A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6

6．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．若，为锐角，且满足，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．要做一个圆锥形漏斗，其母线为20，要使其体积最大，则其高为（    ）

A． B．100 C．20 D．

9．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列满足，，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第行有个数，），从左至右第行第个数记为（，且），则（    ）．

A． B． C． D．

11．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．己知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）

13．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则________．

14．已知，满足，则的最大值为________．

15．在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为________．

16．已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1．若，则该双曲线的离心率为________．

三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）

17．（本题12分）设数列的前项和为，且，，数列满足，点在直线上，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（本题12分）如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面为梯形，且，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求到平面的距离．

19．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（，为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

根据所给统计量，求关于的回归方程．

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，．

20．（本题12分）设函数．

（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；

（2）若在处取得极小值，求的取值范围．

21．（本题12分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，，的面积为．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．

（22题与23题为选做题，二选一）

22．（本题10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的普通方程；

（2）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，，直线与曲线交于，两点，求线段的长度．

23．（本题10分）已知函数，为不等式的解集．

（1）求；

（2）证明：当，时，．

成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试

数学试卷（理科）答案

1-5：CBCBD    6-10：BBABA    11-12：AB

13．    14．    15．1或3    16．

17．【答案】（Ⅰ）    （Ⅱ）

【解析】（1）由可得，两式相减得．

又，所以．

故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．

由点在直线上，所以．

则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则．

（Ⅱ）因为，所以．

则，

两式相减得：

∴

18．【答案】（Ⅰ）见解析；    （Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）由余弦定理得，

∴，∴，，∵，∴．

又平面底面，平面底面，底面，

∴平面，

又平面，∴．

（Ⅱ）设到平面的距离为．

取中点，连结，∵是等边三角形，∴．

又平面底面，平面底面，平面，

∴底面，且，

由（Ⅰ）知平面，又平面，∴．

∴，即．

解得．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】由已知，优等品的质量与尺寸的比

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为，，，

有3件为非优等品，记为，，，

现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，，

选中的两件均为优等品的事件为，，，

所求概率为．

（Ⅱ）对两边取自然对数得

令，，则，且

由所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

由得，

所以关于的回归方程为．

20．【答案】（1）的值为1；（2）的取值范围是．

【解析】（1）因为，

所以

．

．

由题设知，即，解得．此时．

所以的值为1．

注：没验证要酌情扣分

（2）由（1）得．

若，则当时，；当时，．

所以在处取得极小值．

若，则当时，，，所以．

所以2不是的极小值点．

综上可知，的取值范围是．

21．【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为．

【解析】（1）设，，其中，

由得

从而，故．

从而，由得，因此．

所以，故，

因此，所求椭圆的标准方程为：

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，，，，是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，

．

由（1）知，，所以，，再由

得，由椭圆方程得，即，

解得或

当时，，重合，此时题设要求的圆不存在．

当时，过，分别与，垂直的直线的交点即为圆心，设

由，得，而，故

圆的半径

综上，存在满足条件的圆，其方程为：．

22．【答案】（1）（或）；（2）．

【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），

将①式两边平方，得③，

③②，得，即，

因为，当且仅当，

即时取“”，

所以，即或，

所以曲线的普通方程为（或）．

（2）因为曲线的直角坐标系方程为（或），

所以把代入得：，，

则曲线的极坐标方程为，

设，的极坐标分别为，，由

得，即，且

因为，∴或，

满足，不妨设，

所以．

注：没考虑要酌情扣分

23．【解析】（1）

所以不等式的解集为．

（2）要证，只需证，

即证，只需证，即，

即证，只需证

因为，，所以，

所以所证不等式成立．