2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第十二章　第2讲　算法与程序框图

第2讲　算法与程序框图

一、知识梳理

1．算法与程序框图

(1)算法

①算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．

②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．

(2)程序框图

定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．

2．三种基本逻辑结构及相应语句

常用结论

1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值．

2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

二、教材衍化

1．如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填      ．

解析：输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0.

答案：x<0

2．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为      ．

解析：按照程序框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin＝.

答案：

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．(　　)

(2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(　　)

(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(　　)

(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．(　　)

(5)在算法语句中，x＝x＋1是错误的．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

二、易错纠偏

(1)分不清程序框图是条件结构还是循环结构致错；

(2)把握不好循环结构中控制循环的条件致错．

1．执行如图所示的程序框图，其中t∈Z.若输入的n＝5，则输出的结果为(　　)

A．48  B．58 

C．68  D．78

解析：选B.输入的n＝5，则a＝5×5＋3＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝5×9＋3＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝5×11＋3＝58＝7×8＋2.则退出循环，输出的结果为58.故选B.

2．如图所示的程序框图，当输入的x为1时，输出的结果为(　　)

A．3  B．4 

C．5  D．6

解析：选C.执行程序框图；i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2<20，则x＝2；y＝4，i＝2，y＝4<20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8<20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16<20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32>20，退出循环体．故输出的结果为5，选C.

　　　　　　顺序结构与条件结构(典例迁移)

执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于(　　)

A．[－3，4]  B．[－5，2] 

C．[－4，3]  D．[－2，5]

【解析】　由程序框图得分段函数s＝所以当－1≤t<1时，s＝3t∈[－3，3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3，4]，即输出的s属于[－3，4]．

【答案】　A

【迁移探究1】　(变条件)若本例的判断框中的条件改为“t≥1？”，则输出的s的范围是        ．

解析：由程序框图得分段函数s＝所以当1≤t≤3时，s＝3t∈[3，9]，当－1≤t<1时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时－5≤s<3.综上函数的值域为[－5，9]，即输出的s属于[－5，9]．

答案：[－5，9]

【迁移探究2】　(变结论)本例框图不变，若输出s的值为3，求输入的t的值．

解：由本例解析知s＝，

则3t＝3，所以t＝1(舍)，

4t－t2＝3，所以t＝1或3.

应用顺序结构和条件结构的注意点

(1)顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．

(2)条件结构

利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．

[提醒]　条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．

1．阅读如图所示的程序框图，若输入的x为3，则输出的y的值为(　　)

A．24  B．25 

C．30  D．40

解析：选D.a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.

2．(2020·陕西商洛模拟)给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是(　　)

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选C.当x≤2时，y＝x2＝x，解得x1＝0，x2＝1；当2<x≤5时，y＝2x－3＝x，解得x3＝3；当x>5时，y＝＝x，解得x＝±1(舍去)，故x可为0，1，3.故选C.

　　　　　　循环结构(多维探究)

角度一　由程序框图求输出的结果或输入的值

(1)(2019·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A. 1   B. 2 

C. 3  D． 4

(2)(2020·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

【解析】　(1)执行程序框图，s＝2，k＝2；s＝2，k＝3；s＝2，结束循环．输出的s值为2，故选B.

(2)由题意，可得A＝1，B＝1，k＝3，满足条件k≤n；C＝2，A＝1，B＝2，k＝4，满足条件k≤n；C＝3，A＝2，B＝3，k＝5，满足条件k≤n；C＝5，A＝3，B＝5，k＝6，满足条件k≤n；C＝8，A＝5，B＝8，k＝7，满足条件k≤n；C＝13，A＝8，B＝13，k＝8，此时应该不满足条件k≤n，退出循环，输出的C的值为13.可得8>n≥7，所以输入的正整数n的值是7.故选C.

【答案】　(1)B　(2)C

角度二　完善程序框图

(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)

A．A＝

B．A＝2＋

C．A＝

D．A＝1＋

【解析】　法一：依次检验四个选项．第一次循环：A.A＝；B.A＝2＋2；C.A＝；D.A＝2.分析知只有A符合题意．故选A.

法二：分析知，与一致的结构为，故可设A＝，检验知符合题意，故选A.

【答案】　A

角度三　辨析程序框图的功能

(2020·江西上饶摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)

A．求1＋＋＋＋…＋的值

B．求1＋＋＋＋…＋的值

C．求1－＋－＋…－的值

D．求1－＋－＋…＋的值

【解析】　执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21>19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故选C.

【答案】　C

[提示]　(1)几个常用变量：①计数变量，如i＝i＋1；

②累加变量，如S＝S＋i；③累乘变量，如p＝p×i.

(2)当型循环与直到循环的区别．

1．(2020·武昌区调研考试)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s＝(　　)

A．26  B．102

C．410  D．512

解析：选B.s＝0，n＝1，第一次运行，s＝21－0＝2，n＝1＋2＝3；

第二次运行，s＝23－2＝6，n＝3＋2＝5；

第三次运行，s＝25－6＝26，n＝5＋2＝7；

第四次运行，s＝27－26＝102，n＝7＋2＝9>8，终止循环．输出s＝102，故选B.

2．(2020·安徽六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为(　　)

A．i≤4  B．i≤5  C．i≤6  D．i≤7

解析：选B.初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5；第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为“i≤5”，故选B.

3．(2020·东北三省三校一模)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1－a2＝(　　)

A．2

B．1

C．0

D．－1

解析：选D.当输入x的值为4时，不满足b2>x，但是满足x能被b整除，输出a＝0＝a1；当输入x的值为5时，不满足b2>x，也不满足x能被b整除，故b＝3，此时满足b2>x，故输出a＝1＝a2，则a1－a2＝－1.故选D.

　　　　　　基本算法语句(师生共研)

执行如图程序语句，输入a＝2cos，b＝2tan ，则输出y的值是(　　)

A．3  B．4

C．6  D．－1

【解析】　根据条件语句可知程序运行后是计算y＝

且a＝2cos＝2cos ＝1，

b＝2tan ＝2tan＝2；

因为a<b，所以y＝a(a＋b)＝1×3＝3，

即输出y的值是3.

【答案】　A

算法语句应用的三个关注点

　下列程序执行后输出的结果是        ．

解析：程序反映出的算法过程为

i＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝10⇒S＝11×10，i＝9；

i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；

i＝8<9退出循环，执行“PRINT　S”．

故S＝990.

答案：990

[基础题组练]

1．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为(　　)

A．－3

B．－3或9

C．3或－9

D．－3或－9

解析：选B.当x≤0时，－8＝0，x＝－3；当x>0时，2－log3x＝0，x＝9.故x＝－3或x＝9，故选B.

2．(2020·景德镇模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为1，则输出的k的值为(　　)

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选D.开始，k＝0，a＝1，所以b＝1；第一次循环，a＝－＝－，此时a≠b；第二次循环，k＝2，a＝

－＝－2，此时a≠b；第三次循环，k＝4，a＝－＝1，此时a＝b，结束循环，输出k的值为4，故选D.

3．(2020·陕西汉中重点中学联考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是(　　)

A．5  B．26 

C．667  D．677

解析：选D.根据程序框图，模拟程序的运行，可得a＝1，满足条件a<100，执行循环体，

a＝2，满足条件a<100，执行循环体，

a＝5，满足条件a<100，执行循环体，

a＝26，满足条件a<100，执行循环体，

a＝677，不满足条件a<100，退出循环体，输出a的值为677，故选D.

4．(2020·武汉市调研测试)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)

A．5  B．12 

C．27  D．58

解析：选C.k＝1，s＝1，第一次循环，s＝1＋1＝2，k＝2×1＋1＝3；

第二次循环，s＝2＋3＝5，k＝2×3＋1＝7；

第三次循环，s＝5＋7＝12，k＝2×7＋1＝15；

第四次循环，s＝12＋15＝27，k＝2×15＋1＝31>30，终止循环．输出s＝27，故选C.

5．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)如图所示的程序框图，若输出S＝30，则输入的整数m的值为(　　)

A．7  B．8 

C．9  D．10

解析：选C.执行程序框图，可得S＝0，k＝m<m＋2，执行循环体；

S＝m，k＝m＋1<m＋2，执行循环体；

S＝2m＋1，k＝m＋2，执行循环体；

S＝3m＋3，k＝m＋3>m＋2，退出循环，输出S＝3m＋3，由3m＋3＝30得m＝9.故选C.

6.(2020·宁夏石嘴山三中一模)数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下面是源于其思想的一个程序框图．若输入a，b的值分别为8，2，则输出的n＝(　　)

A．2  　　 B．3

C．5  　　　 D．4

解析：选C.输入a，b分别为8，2，n＝1，a＝12，b＝4，不满足退出循环的条件；

n＝2，a＝18，b＝8，不满足退出循环的条件；

n＝3，a＝27，b＝16，不满足退出循环的条件；

n＝4，a＝，b＝32，不满足退出循环的条件；

n＝5，a＝，b＝64，满足退出循环的条件；故输出n＝5，故选C.

7.(2020·重庆质量调研(一))执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝－1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)

A．y＝－2x 

B．y＝－3x

C．y＝－4x 

D．y＝－8x

解析：选C.初始值x＝0，y＝－1，n＝1，执行循环体，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝，y＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出x＝，y＝－6，此时x，y满足y＝－4x，故选C.

8．(2020·原创冲刺卷三)执行如图所示的程序框图，若输出结果为y＝44.5，则循环体的判断框内应填(　　)

A．x<88  B．x≤89  C．x<89  D．x≤90

解析：选B.因为sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44(sin21°＋sin289°)＋sin245°＝44(sin21°＋cos21°)＋sin245°＝44.5，所以判断框内应填“x≤89”．

9．(2020·长春市质量监测(一))我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升)．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15(单位：升)，则输入的k的值为(　　)

A．45  　　 B．60

C．75  　　　 D．100

解析：选B.依题意知，n＝1，S＝k，满足条件n<4，执行循环体，n＝2，S＝k－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝3，S＝－＝；满足条件n<4，执行循环体，n＝4，S＝－＝，此时不满足条件n<4，退出循环，输出的S＝.由题意可得＝15，解得k＝60，故选B.

10．(2020·陕西省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，4，输出的M＝，那么判断框中应填入的条件为(　　)

A．n<k?

B．n≥k

C．n<k＋1

D．n≥k＋1

解析：选A.由于输入的a＝1，b＝2，k＝4，所以当n＝1时，M＝1＋＝，此时a＝2，b＝；当n＝2时，M＝2＋＝，此时a＝，b＝；当n＝3时，M＝＋＝，与输出的M值一致，故循环需终止．此时n＝4，而输入的k＝4，故结合选项知，判断框中应填入“n<k”．故选A.

11．(2020·江西省五校协作体试题)阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的结果为      ．

解析：开始，x＝1，y＝1，第一次循环，z＝x＋y＝2，x＝1，y＝2；第二次循环，z＝x＋y＝3，x＝2，y＝3；第三次循环，z＝x＋y＝5，x＝3，y＝5；第四次循环，z＝x＋y＝8，x＝5，y＝8；第五次循环，z＝x＋y＝13，x＝8，y＝13；第六次循环，z＝x＋y＝21，不满足条件z<20，退出循环．输出＝，故输出的结果为.

答案：

12．阅读下面的程序，当分别输入实数x＝和x＝0时，其输出的结果是        ．

输入 x

If　x>1　Then

　y＝x－2

Else

　y＝2*x

End If

输出　y

解析：由程序可知，它解决的是求分段函数y＝的函数值问题，显然，当x＝时，y＝－2；当x＝0时，y＝0.故输出的结果是－2和0.

答案：－2和0

[综合题组练]

1．(2020·石家庄市质量检测(二))20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为(　　)

A．5  B．16

C．5或32  D．4或5或32

解析：选C.若n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n＝5或32，故选C.

2.(2020·河南开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思是：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的语句是(　　)

A．i<7，s＝s－，i＝2i

B．i≤7，s＝s－，i＝2i

C．i<7，s＝，i＝i＋1

D．i≤7，s＝，i＝i＋1

解析：选D.由题意可知第一天后剩下，第二天后剩下，…，由此得出第7天后剩下，则①应为i≤7，②应为s＝，③应为i＝i＋1，故选D.

3．关于函数f(x)＝的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是      ．

解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1，1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0，1]．

答案：[0，1]

4．执行如图所示的程序框图，若输入向量a＝c＝(－2，2)，b＝(1，0)，则输出S的值是      ．

解析：程序对应的运算：

a＝c＝(－2，2)，则a·c＝8，S＝0＋8＝8，i＝1，c＝c＋b＝(－1，2)；

a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(－1，2)，则a·c＝6，S＝8＋6＝14，i＝2，c＝c＋b＝(0，2)；

a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(0，2)，则a·c＝4，S＝14＋4＝18，i＝3，c＝c＋b＝(1，2)；

a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(1，2)，则a·c＝2，S＝18＋2＝20，i＝4，c＝c＋b＝(2，2)；

a＝(－2，2)，b＝(1，0)，c＝(2，2)，则a·c＝0，此时跳出循环体．故输出S的值为20.

答案：20