2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第五章　第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

一、知识梳理

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．

即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

常用结论

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.

2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点的坐标为.

3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．

二、习题改编

1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)

A．(2，2)  B．(3，－1)

C．(2，2)或(3，－1)  D．(2，2)或(3，1)

解析：选D.由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.

2．(必修4P119A组T8改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)

A．－   B.

C．－2  D．2

解析：选A.由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选A.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)

(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；

(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．

1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)

A．①②  B．①③

C．①④  D．③④

解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：

对于①，与不共线，可作为基底；

对于②，与为共线向量，不可作为基底；

对于③，与是两个不共线的向量，可作为基底；

对于④，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．

2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)  B．(7，4)

C．(－1，4)  D．(1，4)

解析：选A.法一：设C(x，y)，

则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，

所以

从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.

法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，

＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．

故选A.

　　　　　平面向量基本定理及其应用(师生共研)

(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b　　　　　　　　　B.a－b

C．－a－b  D．－a＋b

(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝        ．

【解析】　(1)＝＋

＝＋

＝(－)－

＝－－＝－a－b.

(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.

【答案】　(1)C　(2)

运算遵法则　基底定分解

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．

1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b　　　　　　 B．－a＋b

C.a－b  D．－a－b

解析：选A.由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.

2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．

(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；

(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．

解：(1)因为＝2，所以＝，

所以＝(－)＝－，

又因为＝r＋s，

所以r＝，s＝－，

所以r＋s＝0.

(2)因为四边形OABP为平行四边形，

所以＝＋，

又因为＝m＋，

所以＝＋(m＋1)，

依题意，是非零向量且不共线，

所以m＋1＝0，

解得m＝－1.

　　　　　　平面向量的坐标运算(师生共研)

已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得

(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．

所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，

所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．

(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．

1．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是        ．

解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．

答案：(4，7)

2．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝        ．

解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，

则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则

所以即a＝－2e1＋e2.

答案：－2e1＋e2

　　　　　平面向量共线的坐标表示(多维探究)

角度一　利用向量共线求向量或点的坐标

已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为        ．

【解析】　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．

【答案】　(2，4)

角度二　利用两向量共线求参数

已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)

A．－   B.

C.  D．

【解析】　＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(－2k，－2)．

因为A，B，C三点共线，所以，共线，

所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.

【答案】　A

(1)向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．

1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝        ．

解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，

所以a＋b＝(1，m－1)．

因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，

所以2－(－1)·(m－1)＝0.

所以m＝－1.

答案：－1

2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．

因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

(2)法一：因为A，B，C三点共线，

所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，

所以，解得m＝.

法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，

＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．

因为A、B、C三点共线，

所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，

即2m－3＝0，所以m＝.

思想方法系列8　坐标法解决平面向量的线性运算

(2020·湖北十堰调研)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在△ABC斜边BC的中线AD上，则·(＋)的最大值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D．

【解析】　以A为坐标原点，

，的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(3，0)，C(0，4)，BC中点D，则直线AD的方程为y＝x.设P，所以＝，＝，＝，·(＋)＝－x2＋x＝－＋，所以当x＝时，·(＋)的最大值为.故选B.

【答案】　B

系要建得巧，题就解得妙

坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：

(1)利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；

(2)利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．

　如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝        ．

解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.

法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.

答案：

[基础题组练]

1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为(　　)

A．(1，1)  B．(－1，1)

C．(－1，－1)  D．(1，－1)

解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.

2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　)

A.  B．－

C．－3  D．3

解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．

故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.

故选B.

法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，

故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.

故选B.

3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D．

解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知

所以所以E.

4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.   B.

C．3  D．2

解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，

所以＝.

5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝        ．

解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．

因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.

答案：2

6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为        ．

解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.

答案：－

7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝        ．

解析：选择，作为平面向量的一组基底，

则＝＋，＝＋，＝＋，

又＝λ＋μ＝＋，于是得

解得所以λ＋μ＝.

答案：

8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.

(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．

解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．

点M在第二或第三象限⇔

解得t2＜0且t1＋2t2≠0.

故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.

(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．

因为＝－＝(4，4)，

＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，

所以A，B，M三点共线．

[综合题组练]

1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)

A．(2，0)  B．(0，－2)

C．(－2，0)  D．(0，2)

解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，

即a＝－2p＋2q＝(2，4)，

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

所以即

所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．

2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．1   B.

C.  D．2

解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，

所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.

又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，

故x＋y的最大值为.

3．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为        ．

解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，

因为A，B，C三点共线，

所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，

即整理得2a＋b＝2，

所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)．

答案：＋

4．(2020·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝        ．

解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．

根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，)．

根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．

易知线段AC中点的坐标为，直线AC的斜率为－，故线段AC的中垂线l的斜率为(如图所示)，方程为y－＝.

令x＝2，解得y＝，故W.

由＝λ1＋λ2得＝λ1(4，0)＋λ2(－1，)，

即解得

所以2λ1＋λ2＝＋＝3.

答案：3