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2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第十章 第1讲 随机事件的概率
展开第1讲 随机事件的概率一、知识梳理1.事件的分类确定事件必然事件在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例LLLn(A)=为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).3.事件的关系与运算 定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥A∩B=∅对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B=∅且A∪B=Ω常用结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率:P(A)=1.(3)不可能事件的概率:P(A)=0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).二、习题改编1.(必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为 .答案:①2.(必修3 P123A组T3改编)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为 .答案:0.45一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)随机事件和随机试验是一回事.( )(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )(6)两互斥事件的概率和为1.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×二、易错纠偏(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;(2)频率与概率的关系理解不清致错.1.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:成绩人数90分以上4280~89分17270~79分24060~69分8650~59分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:(1)90分以上的概率: ;(2)不及格(60分及以上为及格)的概率: .解析:(1)=0.07;(2)=0.1.答案:(1)0.07 (2)0.12.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 .解析:因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案:0.35 随机事件的关系(师生共研) 从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.【答案】 C判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.1.设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,条件乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:选A.若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次, 事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次都出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取2个小球,若事件“2个小球全是红球”的概率为,则概率为的事件是( )A.恰有一个红球 B.两个小球都是白球C.至多有一个红球 D.至少有一个红球解析:选C.因为=1-,所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件,应为:“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件,即为“至多有一个红球”. 随机事件的频率与概率(师生共研) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年均收获量;Y51484542频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.【解】 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为==46.(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=. 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成频率分布表;近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y=+425,故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=++=.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为. 互斥事件、对立事件的概率(师生共研) 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)1张奖券的中奖概率;(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,依题意,P(A)=,P(B)==,P(C)==,因为A,B,C两两互斥,所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==,故1张奖券的中奖概率为.(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单)1.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 .解析:设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A,B,C,D表示,则事件A,B,C,D是互斥事件,P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案:0.72.(一题多解)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.解:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.[基础题组练]1.(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析:选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故选B.2.(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是( )A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件解析:选D.对于选项A,“事件A,B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A,B都发生”,“事件A,B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”,当事件A,B为对立事件时,“事件A,B中至少有一个发生”的概率与“事件A,B中恰有一个发生”的概率相等,故错误;对于选项B,“事件A,B同时发生”与“事件A,B中恰有一个发生”是互斥事件,不能确定概率的大小,故错误;因为对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件,所以选项C错误,选项D正确.故选D.3.设A与B是互斥事件,A,B的对立事件分别记为A,B,则下列说法正确的是( )A.与互斥 B.与互斥C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(+)=1解析:选C.根据互斥事件的定义可知,A与,与都有可能同时发生,所以A与互斥,与互斥是不正确的;P(A+B)=P(A)+P(B)正确;与既不一定互斥,也不一定对立,所以D错误.4.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A∪发生的概率为( )A. B. C. D.解析:选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意P(A)==,P(B)==,所以P()=1-P(B)=1-=.因为表示“出现5点或6点”的事件,因此事件A与互斥,从而P(A∪)=P(A)+P()=+=.5.某城市2019年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100110130140概率p其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为 .解析:由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p=++=.答案:6.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有 个.解析:由题意知,摸出黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.设黑球有n个,则=,故n=15.答案:157.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10道智力题,每道题10分,然后作了统计,结果如下:贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率 发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率 (1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数);(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率.解:(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50;发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52,发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.[综合题组练]1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率,得P(A1)==,P(A2)==.P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1--=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得统计表:维修次数89101112频数1020303010记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数,y表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的维修服务次数.(1)若n=10,求y与x的函数解析式;(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务,或每台都购买11次维修服务,分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?解:(1)y=即y=x∈N.(2)因为“维修次数不大于10”的频率==0.6<0.8,“维修次数不大于11”的频率==0.9>0.8,所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.(3)若每台都购买10次维修服务,则有下表:维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 4002 4502 5003 0003 500此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y1=2 400×0.1+2 450×0.2+2 500×0.3+3 000×0.3+3 500×0.1=2 730(元);若每台都购买11次维修服务,则有下表:维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 6002 6502 7002 7503 250此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y2=2 600×0.1+2 650×0.2+2 700×0.3+2 750×0.3+3 250×0.1=2 750(元),因为y1<y2,所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.