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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第十章 第1讲 随机事件的概率

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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第十章 第1讲 随机事件的概率

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    1讲 随机事件的概率一、知识梳理1事件的分类确定事件必然事件在条件S一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验观察某一事件A是否出现n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数称事件A出现的比例LLLn(A)为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)3事件的关系与运算 定义符号表示包含关系如果事件A发生则事件B一定发生这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(AB)相等关系BAAB那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(AB)事件AB不可能事件那么称事件A与事件B互斥AB对立事件AB不可能事件AB必然事件那么称事件A与事件B互为对立事件ABABΩ常用结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A)1.(2)必然事件的概率:P(A)1.(3)不可能事件的概率:P(A)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件AB为必然事件.P(AB)1P(A)1P(B)二、习题改编1(必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球4个黑球从中任取3个球恰有1个白球和全是白球;至少有1个白球和全是黑球;至少有1个白球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中是互斥事件但不是对立事件的为        答案:2(必修3 P123AT3改编)容量为20的样本数据分组后的频数如下表:分组[1020)[2030)[3040)[4050)[5060)[6070)频数234542则样本数据落在区间[1040)的频率为        答案:0.45一、思考辨析判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(  )(2)随机事件和随机试验是一回事.(  )(3)在大量重复试验中概率是频率的稳定值.(  )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(  )(5)对立事件一定是互斥事件互斥事件不一定是对立事件.(  )(6)两互斥事件的概率和为1.(  )答案:(1)× (2)× (3) (4)× (5) (6)×二、易错纠偏(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;(2)频率与概率的关系理解不清致错.1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:成绩人数90分以上428089172707924060698650595250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课用已有的信息估计他得以下分数的概率:(1)90分以上的概率:        (2)不及格(60分及以上为及格)的概率:        解析:(1)0.07(2)0.1.答案:(1)0.07 (2)0.12从一箱产品中随机地抽取一件设事件A{抽到一等品}事件B{抽到二等品}事件C{抽到三等品}P(A)0.65P(B)0.2P(C)0.1则事件抽到的不是一等品的概率为        解析:因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到的是一等品P(A)0.65所以抽到的不是一等品的概率为P1P(A)10.650.35.答案:0.35      随机事件的关系(师生共研) 12377个数中任取两个数其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中是对立事件的是(  )A  B②④  C  D①③解析】 至少有一个是奇数两个奇数或一奇一偶而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数至少有一个是奇数两个都是偶数是对立事件易知其余都不是对立事件.答案】 C判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件若有且仅有一个发生则这两事件为对立事件对立事件一定是互斥事件.(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集则事件互斥;事件A的对立事件A所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.1设条件甲:事件A与事件B是对立事件条件乙:概率满足P(A)P(B)1则甲是乙的(  )A充分不必要条件  B.必要不充分条件C充要条件  D.既不充分也不必要条件解析:A.若事件A与事件B是对立事件AB为必然事件再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.设掷一枚硬币3 事件A至少出现一次正面事件B3次都出现正面P(A)P(B)满足P(A)P(B)1AB不是对立事件.2一袋中装有5个大小形状完全相同的小球其中红球3白球2从中任取2个小球若事件2个小球全是红球的概率为则概率为的事件是(  )A恰有一个红球      B.两个小球都是白球C至多有一个红球  D.至少有一个红球解析:C.因为1所以概率为的事件是2个小球全是红球的对立事件应为:一个红球一个白球两个都是白球的和事件即为至多有一个红球      随机事件的频率与概率(师生共研) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的相近作物株数X之间的关系如表所示:X1234Y51484542这里两株作物相近是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表并求所种作物的平均年均收获量;Y51484542频数 4  (2)在所种作物中随机选取一株求它的年收获量至少为48 kg的概率.】 (1)所种作物的总株数为1234515其中相近作物株数为1的作物有2相近作物株数为2的作物有4相近作物株数为3的作物有6相近作物株数为4的作物有3列表如下:Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)(1)P(Y51)P(Y48).故在所种作物中随机选取一株它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).  某河流上的一座水力发电站每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计X70Y460X每增加10Y增加5.已知近20X的值为14011016070200160140160220200110160160200140110160220140160.(1)完成频率分布表;20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率   (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同并将频率视为概率求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.解:(1)在所给数据中降雨量为110毫米的有3160毫米的有7200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y425P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)P(Y<490Y>530)P(X<130X>210)P(X70)P(X110)P(X220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.      互斥事件、对立事件的概率(师生共研) 某商场有奖销售中购满100元商品得1张奖券多购多得1 000张奖券为一个开奖单位设特等奖1一等奖10二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为ABC求:(1)1张奖券的中奖概率;(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.】 (1)1张奖券中奖为事件MMABC依题意P(A)P(B)P(C)因为ABC两两互斥所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)1张奖券的中奖概率为.(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖为事件N则事件N1张奖券中特等奖或中一等奖为对立事件所以P(N)1P(AB)1.1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反特别是至多”“至少型题目用间接法求解简单)1某人去开会他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.30.20.10.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为        解析:设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件ABCD表示则事件ABCD是互斥事件P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案:0.72(一题多解)经统计在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.解:无人排队等候为事件A1人排队等候为事件B2人排队等候为事件C3人排队等候为事件D4人排队等候为事件E5人及5人以上排队等候为事件F则事件ABCDEF彼此互斥.(1)至多2人排队等候为事件GGABC所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一:至少3人排队等候为事件HHDEF所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二:至少3人排队等候为事件H则其对立事件为事件G所以P(H)1P(G)0.44.[基础题组练]1(2018·高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15则不用现金支付的概率为(  )A0.3  B0.4  C0.6  D0.7解析:B.只用现金支付为事件A既用现金支付也用非现金支付为事件B不用现金支付为事件CP(C)1P(A)P(B)10.450.150.4.故选B.2(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是(  )A事件AB中至少有一个发生的概率一定比AB中恰有一个发生的概率大B事件AB同时发生的概率一定比AB中恰有一个发生的概率小C互斥事件一定是对立事件对立事件不一定是互斥事件D互斥事件不一定是对立事件对立事件一定是互斥事件解析:D.对于选项A事件AB中至少有一个发生包括事件A发生B不发生”“A不发生B发生AB都发生事件AB中恰有一个发生包括事件A发生B不发生A不发生B发生当事件AB为对立事件时事件AB中至少有一个发生的概率与事件AB中恰有一个发生的概率相等故错误;对于选项B事件AB同时发生事件AB中恰有一个发生是互斥事件不能确定概率的大小故错误;因为对立事件一定是互斥事件互斥事件不一定是对立事件所以选项C错误选项D正确.故选D.3AB是互斥事件AB的对立事件分别记为AB则下列说法正确的是(  )A互斥  B互斥CP(AB)P(A)P(B)  DP()1解析:C.根据互斥事件的定义可知A都有可能同时发生所以A互斥互斥是不正确的;P(AB)P(A)P(B)正确;既不一定互斥也不一定对立所以D错误.4掷一个骰子的试验事件A表示出现小于5的偶数点事件B表示出现小于5的点数表示B的对立事件则一次试验中事件A发生的概率为(  )A.   B.  C.  D解析:C.掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意P(A)P(B)所以P()1P(B)1.因为表示出现5点或6的事件因此事件A互斥从而P(A)P(A)P().5某城市2019年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100110130140概率p其中污染指数T50空气质量为优;50<T100空气质量为良;100<T150空气质量为轻微污染.则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为        解析:由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p.答案:6口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球摸出红球的概率是0.42摸出白球的概率是0.28若红球有21则黑球有        个.解析:由题意知摸出黑球的概率为10.420.280.3.设黑球有nn15.答案:157某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10道智力题,每道题10然后作了统计结果如下:贫困地区参加测试的人数305010020050080060分以上的人数16275210425640260分以上的频率      发达地区参加测试的人数305010020050080060分以上的人数17295611127644060分以上的频率      (1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率.解:(1)贫困地区表格从左到右分别为0.530.540.520.520.510.50;发达地区表格从左到右分别为0.570.580.560.560.550.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额()01 0002 0003 0004 000车辆数()500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中车主是新司机的占10%在赔付金额为4 000元的样本车辆中车主是新司机的占20%估计在已投保车辆中新司机获赔金额为4 000元的概率.解:(1)A表示事件赔付金额为3 000B表示事件赔付金额为4 000以频率估计概率得P(A)0.15P(B)0.12.由于投保金额为2 800赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)C表示事件投保车辆中新司机获赔4 000由已知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000100()而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×12024()所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24由频率估计概率得P(C)0.24.[综合题组练]1某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据如下表所示:一次购物量1458912131617件及以上顾客数()x3025y10结算时间(分钟/)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定xy的值并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得25y1055x3045所以x15y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计其估计值为1.9(分钟)(2)A为事件一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟A1A2分别表示事件该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟该顾客一次购物的结算时间为3分钟将频率视为概率P(A1)P(A2).P(A)1P(A1)P(A2)1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.2某公司计划购买1台机器该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时可以一次性额外购买几次维修服务每次维修服务费用200另外实际维修一次还需向维修人员支付小费小费每次50元.在机器使用期间如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数得统计表:维修次数89101112频数1020303010x表示1台机器在三年使用期内的维修次数y表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元)n表示购机的同时购买的维修服务次数.(1)n10yx的函数解析式;(2)若要求维修次数不大于n的频率不小于0.8n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数以此作为决策依据购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?解:(1)yyxN.(2)因为维修次数不大于10的频率=0.6<0.8维修次数不大于11的频率=0.9>0.8所以若要求维修次数不大于n的频率不小于0.8n的最小值为11.(3)若每台都购买10次维修服务则有下表:维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 4002 4502 5003 0003 500此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y12 400×0.12 450×0.22 500×0.33 000×0.33 500×0.12 730()若每台都购买11次维修服务则有下表:维修次数x89101112频率0.10.20.30.30.1费用y2 6002 6502 7002 7503 250此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y22 600×0.12 650×0.22 700×0.32 750×0.33 250×0.12 750()因为y1<y2所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.  

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