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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值
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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值

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    第3讲 导数与函数的极值、最值



    一、知识梳理
    1.函数的极值
    函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
    函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
    极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
    [提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
    (2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
    (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.
    2.函数的最值
    (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
    (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
    [提醒] 极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.
    常用结论
    记住两个结论
    (1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.
    (2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.
    二、习题改编
    1.(选修1­1P94例4改编)若函数f(x)=2x3-x2+ax+3在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为(  )
    A.(-8,-4) B.[-8,-4)
    C.(-8,-4] D.(-∞,-8]∪[-4,+∞)
    答案:C
    2.(选修1­1P99A组T6改编)函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(  )
    A.1-e B.-1
    C.-e D.0
    答案:B

    一、思考辨析
    判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(  )
    (2)导数为零的点不一定是极值点.(  )
    (3)函数的极大值不一定比极小值大.(  )
    (4)函数的极大值一定是函数的最大值.(  )
    (5)开区间上的单调连续函数无最值.(  )
    答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
    二、易错纠偏
    (1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;
    (2)混淆极值与极值点的概念;
    (3)连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值.
    1.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为 .
    解析:函数f(x)=x(x-c)2的导数为f′(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,解得c=2或6,又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,故导数在x=2处左侧为负,右侧为正,而当c=6时,f(x)=x(x-6)2在x=2处有极大值,故c=2.
    答案:2
    2.函数g(x)=-x2的极值点是 ,函数f(x)=(x-1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”).
    解析:结合函数图象可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f′(x)=3(x-1)2≥0,所以f′(x)=0无变号零点,故函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
    答案:0 不存在
    3.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
    解析:根据函数的单调性及最值的定义可得.
    答案:1,4 不存在


          函数的极值问题(多维探究)
    角度一 由图象判断函数的极值
    已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图,则下列叙述正确的是(  )

    A.函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减
    B.函数f(x)在x=2处取得极大值
    C.函数f(x)在x=-4处取得极值
    D.函数f(x)有两个极值点
    【解析】 由导函数的图象可得,当x≤2时,f′(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误.当x=2时函数取得极大值,故B正确.当x=-4时函数无极值,故C错误.只有当x=2时函数取得极大值,故D错误.故选B.
    【答案】 B

    由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点.
    角度二 求已知函数的极值
    已知函数f(x)=ln x+,求函数f(x)的极小值.
    【解】 f′(x)=-=(x>0),
    当a-1≤0,即a≤1时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极小值.
    当a-1>0,即a>1时,由f′(x)<0,得0 由f′(x)>0,得x>a-1,函数f(x)在(a-1,+∞)上单调递增.f(x)极小值=f(a-1)=1+ln(a-1).
    综上所述,当a≤1时,f(x)无极小值;
    当a>1时,f(x)极小值=1+ln(a-1).

    利用导数研究函数极值问题的一般流程
     
    角度三 已知函数的极值求参数值(范围)
    设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
    (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求实数a的值;
    (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求实数a的取值范围.
    【解】 (1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
    所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
    f′(2)=(2a-1)e2.
    由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.
    (2)由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
    若a>1,则当x∈时,f′(x)<0;
    当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.
    所以f(x)在x=1处取得极小值.
    若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,
    所以f′(x)>0.
    所以1不是f(x)的极小值点.
    综上可知,a的取值范围是(1,+∞).

    已知函数极值点或极值求参数的两个要领
    (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
    (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
    [提醒] 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 

    1.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f(x)=(x2-m)ex,若函数f(x)的图象在x=1处切线的斜率为3e,则f(x)的极大值是(  )
    A.4e-2         B.4e2
    C.e-2 D.e2
    解析:选A.f′(x)=(x2+2x-m)ex.由题意知,f′(1)=(3-m)e=3e,所以m=0,f′(x)=(x2+2x)ex.当x>0或x<-2时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当-2 2.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a-b= .
    解析:由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则

    解得或
    经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7.
    答案:-7
    3.已知函数f(x)=ex(-x+ln x+a)(e为自然对数的底数,a为常数,且a≤1).判断函数f(x)在区间(1,e)内是否存在极值点,并说明理由.
    解:f′(x)=ex(ln x-x++a-1),
    令g(x)=ln x-x++a-1,x∈(1,e),则f′(x)=exg(x),g′(x)=-<0恒成立,所以g(x)在(1,e)上单调递减,
    所以g(x) 所以函数f(x)在区间(1,e)内无极值点.

          函数的最值问题(师生共研)
    (2020·贵阳市检测)已知函数f(x)=-ln x.
    (1)求f(x)的单调区间;
    (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).
    【解】 (1)f(x)=-ln x=1--ln x,f(x)的定义域为(0,+∞).
    因为f′(x)=-=,所以f′(x)>0⇒0 (2)由(1)得f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,
    所以f(x)在上的极大值为f(1)=1--ln 1=0.
    又f=1-e-ln =2-e,f(e)=1--ln e=-,且f 所以f(x)在上的最大值为0,最小值为2-e.

    求函数f(x)在[a,b]上最值的方法
    (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.
    (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
    (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.

    1.函数f(x)=在上的最小值与最大值的和为(  )
    A. B.
    C.1 D.0
    解析:选A.f′(x)==,x∈,当f′(x)=0时,x=0;
    当-≤x≤0时,f′(x)<0;当00,
    所以f(x)在上是减函数,在(0,1]上是增函数.所以f(x)min=f(0)=0.
    又f=,f(1)=.
    所以f(x)的最大值与最小值的和为.
    2.(2020·广东五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
    (1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
    (2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
    解:(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),
    当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f′(x)=-1+=,令f′(x)=0,得x=1.
    当00;当x>1时,f′(x)<0.
    所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
    所以f(x)max=f(1)=-1.
    所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.
    (2)f′(x)=a+,x∈(0,e],∈.
    ①若a≥-,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意;
    ②若a<-,令f′(x)>0得a+>0,结合x∈(0,e],解得0 令f′(x)<0得a+<0,结合x∈(0,e],解得- 令-1+ln=-3,得ln=-2,
    即a=-e2.
    因为-e2<-,所以a=-e2为所求.
    故实数a的值为-e2.

         函数极值与最值的综合应用(师生共研)
    设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
    【解】 f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex,
    若a>,则当x∈时,f′(x)<0;
    当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.
    所以f(x)在x=2处取得极小值.
    若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,
    所以f′(x)>0.
    所以2不是f(x)的极小值点.
    综上可知,a的取值范围是.

    解决函数极值、最值问题的策略
    (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.
    (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.
    (3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
     已知函数f(x)=
    (1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点;
    (2)求f(x)在区间[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.
    解:(1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
    令f′(x)=0,解得x=0或x=,
    当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
    x
    (-∞,0)
    0



    f′(x)

    0

    0

    f(x)

    极小值

    极大值

    所以当x=0时,函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.
    (2)①由(1)知,当-1≤x<1时,函数f(x)在[-1,0)和上单调递减,在上单调递增.
    因为f(-1)=2,f=,f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.
    ②当1≤x≤e时,f(x)=aln x,当a≤0时,f(x)≤0;
    当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增.
    所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.
    所以当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;
    当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.

    [基础题组练]
    1.函数f(x)=2x3+9x2-2在[-4,2]上的最大值和最小值分别是(  )
    A.25,-2        B.50,14
    C.50,-2 D.50,-14
    解析:选C.因为f(x)=2x3+9x2-2,所以f′(x)=6x2+18x,当x∈[-4,-3)或x∈(0,2]时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(-3,0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,由f(-4)=14,f(-3)=25,f(0)=-2,f(2)=50,故函数f(x)=2x3+9x2-2在[-4,2]上的最大值和最小值分别是50,-2.
    2.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,给出下列判断:

    ①函数y=f(x)在区间内单调递增;
    ②当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值;
    ③函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增;
    ④当x=3时,函数y=f(x)有极小值.
    则上述判断正确的是(  )
    A.①② B.②③
    C.①②④ D.③④
    解析:选B.对于①,函数y=f(x)在区间内有增有减,故①不正确;
    对于②,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故②正确;
    对于③,当x∈(-2,2)时,恒有f′(x)>0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故③正确;
    对于④,当x=3时,f′(x)≠0,故④不正确.
    3.已知函数f(x)=2f′(1)ln x-x,则f(x)的极大值为(  )
    A.2 B.2ln 2-2
    C.e D.2-e
    解析:选B.函数f(x)定义域(0,+∞),f′(x)=-1,所以f′(1)=1,f(x)=2ln x-x,令f′(x)=-1=0,解得x=2.当00,当x>2时,f′(x)<0,所以当x=2时函数取得极大值,极大值为2ln 2-2.
    4.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为(  )
    A.120 000 cm3 B.128 000 cm3
    C.150 000 cm3 D.158 000 cm3
    解析:选B.设水箱底长为x cm,则高为cm.
    由得0<x<120.
    设容器的容积为y cm3,则有y=-x3+60x2.
    求导数,有y′=-x2+120x.
    令y′=0,解得x=80(x=0舍去).
    当x∈(0,80)时,y′>0;当x∈(80,120)时,y′<0.
    因此,x=80是函数y=-x3+60x2的极大值点,也是最大值点,
    此时y=128 000.故选B.
    5.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是(  )
    A.0 B.1
    C.2 D.无数
    解析:选A.函数定义域为(0,+∞),
    且f′(x)=6x+-2=,
    由于x>0,g(x)=6x2-2x+1的Δ=-20<0,
    所以g(x)>0恒成立,故f′(x)>0恒成立,
    即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
    6.函数f(x)=x3-3x2+4在x= 处取得极小值.
    解析:由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.列表

    x
    (-∞,0)
    0
    (0,2)
    2
    (2,+∞)
    f′(x)

    0

    0

    f(x)

    极大值

    极小值

    所以在x=2处取得极小值.
    答案:2
    7.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1.若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为6,则实数a= ;若函数在(-1,3)内既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 .
    解析:f′(x)=3x2+2ax+a+6,结合题意f′(1)=3a+9=6,解得a=-1;若函数在(-1,3)内既有极大值又有极小值,则f′(x)=0在(-1,3)内有2个不相等的实数根,则解得- 答案:-1 
    8.(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex的极值点,则f′(-2)= ,f(x)的极小值为 .
    解析:由函数f(x)=(x2+ax-1)ex可得f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex,因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f′(-2)=(-4+a)e-2+(4-2a-1)e-2=0,即-4+a+3-2a=0,解得a=-1.所以f′(x)=(x2+x-2)ex.令f′(x)=0可得x=-2或x=1.当x<-2或x>1时,f′(x)>0,此时函数f(x)为增函数,当-2 答案:0 -e
    9.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)=-ln x,m∈R.
    (1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行,求实数n的值;
    (2)试讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值.
    解:(1)由题意得f′(x)=,所以f′(2)=.由于函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行,所以=1,解得n=6.
    (2)f′(x)=,令f′(x)<0,得x>n;令f′(x)>0,得x ①当n≤1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,
    所以f(x)max=f(1)=m-n;
    ②当n>1时,函数f(x)在[1,n)上单调递增,在(n,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(n)=m-1-ln n.
    10.(2019·高考江苏卷节选)设函数f(x)=(x-a)(x-b)·(x-c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.
    (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
    (2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值.
    解:(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.
    因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.
    (2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,
    从而f′(x)=3(x-b).令f′(x)=0,得x=b或x=.
    因为a,b,都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,
    所以=1,a=3,b=-3.
    此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f′(x)=3(x+3)(x-1).
    令f′(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:
    x
    (-∞,-3)
    -3
    (-3,1)
    1
    (1,+∞)
    f′(x)

    0

    0

    f(x)

    极大值

    极小值

    所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.
    [综合题组练]
    1.(2020·郑州质检)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(  )
    A.2折函数 B.3折函数
    C.4折函数 D.5折函数
    解析:选C.f′(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)·(ex-3x-2),令f′(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.
    易知x=-2是f(x)的一个极值点,
    又ex=3x+2,结合函数图象,y=ex与y=3x+2有两个交点.又e-2≠3×(-2)+2=-4.
    所以函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.
    2.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是 .
    解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),又因为f′(x)=4x-,所以由f′(x)=0解得x=,由题意得解得1≤k<.
    答案:
    3.已知函数f(x)=.
    (1)求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
    (2)证明:f(x)仅有唯一的极小值点.
    解:(1)因为f′(x)=,
    所以k=f′(1)=-2.又因为f(1)=e+2,
    所以切线方程为y-(e+2)=-2(x-1),即2x+y-e-4=0.
    (2)证明:令h(x)=ex(x-1)-2,则h′(x)=ex·x,所以x∈(-∞,0)时,h′(x)<0,x∈(0,+∞)时,h′(x)>0.当x∈(-∞,0)时,易知h(x)<0,
    所以f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上没有极值点.
    当x∈(0,+∞)时,
    因为h(1)=-2<0,h(2)=e2-2>0,
    所以f′(1)<0,f′(2)>0,f(x)在(1,2)上有极小值点.
    又因为h(x)在(0,+∞)上单调递增,
    所以f(x)仅有唯一的极小值点.
    4.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x(常数a>0).
    (1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
    (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
    解:(1)由f′(x)=ln x-2ax+2a,
    可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
    所以g′(x)=-2a=.又a>0,
    当x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
    当x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
    所以函数y=g(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
    (2)由(1)知,f′(1)=0.
    ①当01,由(1)知f′(x)在上单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0.
    所以f(x)在(0,1)内单调递减,在上单调递增.
    所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.
    ②当a=时,=1,f′(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.
    ③当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
    所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
    综上可知,实数a的取值范围为.


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        2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值
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