2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第9章第7讲　抛物线

第7讲　抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离).2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；(3)＋＝；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.1．抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)A．y＝－ B．y＝－C．y＝－ D．y＝－1答案　A解析　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－，故选A．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　)A． B．C．3 D．4答案　D解析　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n＋1，解得n＝4.故选D．3．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－x或x2＝yB．y2＝x或x2＝yC．y2＝x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－y答案　A解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y，选A．4．已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0＝(　　)A．2 B．±2C．4 D．±4答案　D解析　由y＝，得x2＝8y，∴抛物线C的准线方程为y＝－2，焦点为F(0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得y0＝2，∴x0＝±4.故选D．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)A．6 B．8C．9 D．10答案　B解析　由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B．6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)A．2 B．2C．2 D．4答案　C解析　利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.故选C．核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一　抛物线的定义角度1　到焦点与到定点距离之和最小问题例1　(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)A．(0,0) B．C．(1，) D．(2,2)答案　D解析　过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．角度2　到点与准线的距离之和最小问题例2　(2020·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．答案　5解析　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.角度3　到定直线的距离最小问题例3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A． B．2C． D．3答案　B解析　由题意可知l2：x＝－1 是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练]　1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案　B解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)A． B．C．2 D．－1答案　D解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.考向二　抛物线的方程例4　(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　)A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案　D解析　∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案　x2＝4y解析　因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线的方程为x2＝4y.抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．[即时训练]　3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝4x B．y2＝36xC．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x答案　C解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P(x0，±6)．因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10　①.因为P在抛物线上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.4．(2019·运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为(　　)A．x2＝y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3y答案　D解析　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.考向三　抛物线的性质例5　(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条答案　B解析　若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k，代入抛物线y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案　(1,0)解析　如图，由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y2＝4ax，解得a＝1，∴y2＝4x，由抛物线方程可得，2p＝4，p＝2，＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练]　5.(2019·长沙模拟)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)A．x＝－1 B．y＝－1C．x＝－2 D．y＝－2答案　A解析　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D．因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A．6．在平面直角坐标系xOy中有一定点A(4,2)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案　x＝－解析　OA的中点的坐标为(2,1)，斜率kOA＝，OA的垂直平分线的方程为y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5.又抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在x轴上，即y＝0.由得抛物线的焦点F的坐标为，∴＝，∴抛物线的准线方程为x＝－.考向四　直线与抛物线的位置关系例6　(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝.因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) .设M为线段AB的中点，则M.因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练]　7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A，B在C上，F为线段AB的中点，|AB|＝4.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C交于M，N两点．若C上仅存在三个点Ki(i＝1,2,3)，使得△MNKi的面积等于16，求l的方程．解　解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB∥x轴，且A，B的坐标分别为，，所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程为x2＝4y.(2)如图，作与l平行且与C相切的直线l′，切点为K.由题意，可知△MNK的面积等于16.设l的方程为y＝kx＋1，方程x2＝4y可化为y＝x2，则y′＝x，令y′＝k，解得x＝2k，将x＝2k代入x2＝4y，得y＝k2，故K(2k，k2)，所以K到l的距离d＝＝，由消去y，得x2－4kx－4＝0，从而x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝ ＝4(k2＋1)，故△MNK的面积为|MN|·d＝2(k2＋1)，从而2(k2＋1)＝16，解得k＝或k＝－.所以l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.解法二：(1)设A(x0，y0)，B(x0′，y0′)，则x＝2py0，x0′2＝2py0′，因为F为AB的中点，所以x0＋x0′＝0，y0＋y0′＝p，故y0＝y0′＝，从而|AB|＝2|x0|，故|x0|＝2，所以4＝2p·，解得p＝2，故C的方程为x2＝4y.(2)直线l斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋1.由消去y，得x2－4kx－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以|MN|＝ ＝4(k2＋1)，因为点K在C上，设K，则点K到直线l的距离d＝，△MNK的面积等于16，所以关于m的方程×4(k2＋1)×＝2＝16恰有三个不同实根，即＝恰有三个不同实根，所以m＝2k，＝k2＋1＝，解得k＝或k＝－.所以l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.化归思想解决抛物线中的比值问题1．(2019·长沙模拟)已知点A(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若＝，则p的值等于________.答案　2解析　依题意，得点F的坐标为，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义，知|MF|＝|MK|，由＝，则|KN|∶|KM|＝2∶1，即kFN＝＝－，得－＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线m与C交于A，B两点，AF⊥BF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为N，则的最小值为________．答案　解析　如图所示，设抛物线的准线为l，作AQ⊥l于点Q，BP⊥l于点P，由抛物线的定义可设|AF|＝|AQ|＝a，|BF|＝|BP|＝b，由勾股定理可知|AB|＝＝，由梯形中位线的性质可得|MN|＝，则＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，即的最小值为.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AF|>|BF|，则＝________.答案　3解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－0＝，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，联立方程组，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，解得x1＝，x2＝，∴|AF|＝x1＋＝2p，|BF|＝x2＋＝，∴|AF|∶|BF|＝3∶1，∴的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线与抛物线C交于M，N两点(M在x轴上方)，且与直线l交于点Q.若＝，|MF|＝16，则p的值为________．答案　4解析　过M，N分别作l的垂线，垂足分别为M1，N1，过F作MM1的垂线，垂足为P.∵＝，∴＝，∴＝，∴|MP|＝|MF|，∴|MF|＝|MM1|＝|MP|＋p＝|MF|＋p，∴p＝4.