2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第7章第4节归纳与类比

第四节　归纳与类比

[最新考纲]　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式，能运用它们进行一些简单的演绎推理．

1．归纳推理

(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．

(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．

②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．

2．类比推理

(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．

(2)特点：①是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理．

②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．

3．合情推理

(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

二、教材改编

1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A．an＝3n－1　　　 B．an＝4n－3

C．an＝n2 D．an＝3n－1

C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]

2．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

A．28 B．76

C．123 D．199

C　[由题意可知，a6＋b6＝7＋11＝18；

a7＋b7＝11＋18＝29；a8＋b8＝18＋29＝47；

a9＋b9＝29＋47＝76；

a10＋b10＝47＋76＝123.]

3．如图(1)有面积关系：＝，则由图(2)有体积关系：＝________.

(1)　　　　　　(2)

　[平面上的面积可类比到空间上的体积．

＝＝.]

4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________．

b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)　[利用类比推理，借助等比数列的性质， b＝b1＋n·b17－n，

可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．]

考点1　归纳推理

　与数字或式子有关的推理

　(1)与数字有关的数阵(或数表)问题，要观察数字特征，数字与序号间的关系及其变化规律，一般要结合数列知识求解．

(2)与式子有关的问题，要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律，归纳推理得出一般结论．

　(1)(2019·皖南八校月考)将正整数依次排列如下：

由表知第5行第3列的数是13，若第2 020行第2列的数是a，则a的各位数字中，数字0的个数为(　　)

A．0　　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．2

(2)(2019·山东省实验中学等四校联考)观察下列式子，ln 2＞，ln 3＞＋，ln 4＞＋＋，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________．

(1)B　(2)ln(n＋1)＞＋＋…＋　[(1)由题前n行中共有1＋2＋3＋…＋n＝个整数，故第2 019行中最后一个数：＝2 039 190，

第2020行中第2列的数为：2 039 190＋2＝2 039 192，故0的个数为1，故选B.

(2)根据题意，对于第一个不等式，ln 2＞，则有ln(1＋1)＞，

对于第二个不等式，ln 3＞＋，则有

ln(2＋1)＞＋，

对于第三个不等式，ln 4＞＋＋，则有

ln(3＋1)＞＋＋，

依此类推：

第n个不等式为：ln(n＋1)＞＋＋…＋.]

　与数字或式子有关的推理主要考查数列的通项的求法，即从题设信息中发现数式变化规律，运用归纳猜想可解，重视由特殊到一般的数学思想．

　1.(2019·安庆模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：

以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是(　　)

A．18 B．17

C．16 D．15

B　[由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.]

2．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N＋)的分解中最小的数是73，则m的值为________．

9　[根据23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3(m∈

N＋)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.]

　与图形变化有关的推理

　与图形变化有关的推理，其解题切入点：

(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，结构、数值发生了怎样的变化，探求规律．

　如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2(n≥3)个图形共有________个顶点．

①　　 ②　　 　③　　　 　④

n2＋n　[第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；

第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；

第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；

第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；

……

第n个图有(n＋3)(n＋2)个顶点，

第n－2个图形共有n(n＋1)＝n2＋n个顶点．]

　与图形变化有关的推理常借助特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

　(2019·呼和浩特模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，

是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为(　　)

n＝1　　 　n＝2　　　n＝3

A．81 B．121

C．364 D．1 093

C　[由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，

所以，n＝1时，a1＝1；

n＝2时，a2＝3＋1＝4；

n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；

n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；

n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；

n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.]

考点2　类比推理

　类比推理的应用类型及解题方法

　(1)(2019·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的

论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式

却是个定值，它可以通过方程1＋＝x(x＞0)求得x＝.类比上述方法，则＝(　　)

A．3 B.

C．6 D．2

(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________．

(1)A　(2)－＝1　[(1)由题意结合所给的例子类比推理可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－3)＝0，则x＝3，x＝－1(舍)，即＝3，故选A.

(2)若点P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.]

　类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．

[教师备选例题]

1．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA

＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)

A．S2＝S＋S＋S   B．S2＝＋＋

C．S＝S1＋S2＋S3  　　 D．S＝＋＋

A　[如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，则AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.]

2．“求方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．

(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2变形为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，

令u＝x2，v＝x＋2，

则x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)转化为u3＋u＞v3＋v.

设f(x)＝x3＋x，知f(x)在R上为增函数，

∴由f(u)＞f(v)，得u＞v.

不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化为x2＞x＋2，

解得x＜－1或x＞2.

∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]

　在平面几何中，若正方形ABCD的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到立体几何中，若正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.

　[正方形ABCD的内切圆的半径为r1，外接圆的半径为r2，半径比＝，面积比为半径比的平方，＝，正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球的半径为R1，外接球的半径为R2，半径比＝，所以体积比是半径比的立方，＝.]

考点3　生活中的合情推理

　假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．

　(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

A　[若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即

丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.]

　对于逻辑推理问题，求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准，推出矛盾，进而得出结论．

　(2019·东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．

乙　[假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾．故答案是乙．]