2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第9章第6节　抛物线

第六节　抛物线[最新考纲]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．(对应学生用书第158页)1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py (p>0)x2＝－2py (p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径P(x0，y0)|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．               (　　)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4. (　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　)(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.                            (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　　 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．0B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9 B．8  C．7 D．6B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.](对应学生用书第159页)⊙考点1　抛物线的定义及应用　与抛物线有关的最值问题的解题策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．(1)(2019·长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P.若|PF|＝5，则△PFK的面积为(　　)A．4 B．5　　　　C．8　　　　 D．10(2)(2019·福州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　　)A．1 B.  C．5 D.(1)A　(2)B　[(1)由抛物线的方程y2＝4x，可得F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，不妨设P(x0，y0)在第一象限，则P(4，4)，所以S△PKF＝|FK||y0|＝×2×4＝4.故选A.(2)如图，求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|最小，此时P，F(1,0)，线段PF的长为＋1＝.故选B.]　抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键．　1.(2019·临川模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)A. B．1  C. D．2D　[由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋，∴x0＝，∴A.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.]2．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________. y2＝4x　[设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．3－1　[由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.]⊙考点2　抛物线的标准方程与几何性质1．求抛物线标准方程的方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1)D　(2)(1,0)　[(1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2)由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]　若抛物线的焦点位置不确定，应分焦点在x轴和y轴两种情况求解，如本例(1)．[教师备选例题]1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝y　　　 B．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36yD　[将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2 B．4  C．6　　　　 D．8B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]　1.若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是________．20　[y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝－4交于A，B两点，|AB|＝4，设A在x轴上方，所以A(－4,2)，B(－4，－2)，将A点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(2)2＝m，所以m＝20.]2．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．x2＝4y　[由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.]⊙考点3　直线与抛物线的综合问题　直线与抛物线的交点问题　直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．　(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由 y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.(1)对于抛物线x2＝ay(a≠0)，直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识．(2)本例第(2)问中，找出隐含条件|AB|＝2|MN|是解题的关键．　抛物线的焦点弦问题　解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．　(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.(1)本例第(1)问中，x1＋x2是建立等式的纽带．(2)本例第(2)问中，设出圆心坐标(x0，y0)，构造关于x0，y0的方程组是关键．　1.(2019·开封模拟)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)A　[由直线与圆相切得，＝1，即k2＝t2＋2t，由得x2－4kx－4t＝0.由题意知Δ＝16k2＋16t＞0.即t2＋3t＞0，解得t＞0或t＜－3.故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A．5 B．6  C．7 D．8D　[法一：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.法二：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]3．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.12　[不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以直线方程为y＝－2(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.]课外素养提升⑧　数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用(对应学生用书第160页)1．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．2．“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【例1】　(2019·泰安模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．y＝±x　[设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p，由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.][评析]　根据抛物线的定义把|AF|＋|BF|用A，B点的纵坐标表示，再把双曲线方程和抛物线方程联立得到A，B点纵坐标和的关系，然后进一步求解即可．【素养提升练习】1．(2019·怀化模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为(　　)A．8 B．16　　　　C．32　　　　 D．64C　[焦点F的坐标为(1,0)，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理可得|CD|＝4＋4k2.所以四边形ACBD的面积S＝|AB||CD|＝··4(k2＋1)＝8·＝8≥32，当且仅当k＝±1时取等号．故选C.]中点弦或对称问题，可以利用“点差法”， “点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】(1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2,2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为________．(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．(1)x＋y＋＝0　(2)(－，)　[(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则从而即M，又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0.(2)当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y＜2x0，即(－k)2＜2，所以－＜k＜，且k≠0.综上，k的取值范围为(－，)．][评析](1)先求BC的中点坐标，再用点差法求解．(2)分k＝0和k≠0两种情况求解，当k＝0时，显然成立，当k≠0时，用点差法求解．【素养提升练习】2．中心为(0,0)，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1C　[由题意知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋(4－a2)(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.]求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例3】　已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．8　[由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋.由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.][评析]　设出直线l1的方程，则直线l2的方程也已知，先求|AB|，根据两直线的关系求|DE|，最后求|AB|＋|DE|的最小值．3．(2019·银川模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：x＝a2交x轴于点A，且＝2.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F1，F2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．[解](1)由题意知，|F1F2|＝2c＝2，A(a2,0)，∵＝2，∴F2为线段AF1的中点，则a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为＋＝1.(2)当直线DE与x轴垂直时，|DE|＝＝，此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积S＝＝4.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S＝＝4.当直线DE，MN与x轴均不垂直时，设直线DE：y＝k(x＋1)(k≠0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入椭圆方程，消去y可得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴|x1－x2|＝，∴|DE|＝|x1－x2|＝.同理|MN|＝＝，∴四边形DMEN的面积S＝＝××＝，令u＝k2＋，则S＝4－.∵u＝k2＋≥2，当k＝±1时，u＝2，S＝，且S是以u为自变量的增函数，则≤S＜4.综上可知，≤S≤4，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为.