2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章规范答题系列3：高考中的立体几何问题

(对应学生用书第142页)[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，立体几何解答题主要出现在18题或19题的位置上，解答题一般有两个问题，第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系，第二个问题，有三个热点题型：一是考查空间几何体的体积；二是考查点面距离；三是与平行、垂直有关的存在性问题．[典例示范]　(本题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E­BB1C1C的体积②.[信息提取]　看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与BE有关的垂直关系；看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高．[规范解答](1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1 1分BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 2分又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.  4分(2)由(1)知∠BEB1＝90°.  5分由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，  6分所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 7分故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝ 6.8分如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 10分所以四棱锥E­BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.12分[易错防范]　易错点防范措施证明时书写步骤不规范，缺少BE平面ABB1A1及B1C1∩EC1＝C1等必要条件严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写得不到AE＝AB＝3这个结论，而是凭感觉直接使用这个结论在计算过程中，需要用到的结论，都需要通过推理得到[通性通法]　证明线面垂直的方法较多，常用的有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理等．体积的计算是高考的重点与热点，其方法灵活多样，而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法．[规范特训]　(2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F­ACE与四棱锥C­PBEF的体积之比．[解](1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，∵PC平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)设三棱锥F­ACE的高为h1，三棱锥P­ABC的高为h，则VF­ACE＝×S△ACE×h1＝×S△ABC××h×＝×S△ABC×h×＝×VP­ABC.∴三棱锥F­ACE与四棱锥C­PBEF的体积之比为1∶2.