2020年高考数学理科一轮复习讲义：第11章算法复数推理与证明第5讲

第5讲　数学归纳法[考纲解读]　1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.  数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．1．概念辨析(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．小题热身(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)A．x>sinx，x∈(0，π)B．ex≥x＋1(x∈R)C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)答案　C解析　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．(2)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A．1   B．1＋aC．1＋a＋a2   D．1＋a＋a2＋a3答案　C解析　验证n＝1时，等式左边的项是1＋a＋a2.(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．答案　2k＋1解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1. 题型 　用数学归纳法证明恒等式设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.证明　①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；②假设当n＝k时，命题成立，即(cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ，则当n＝k＋1时，(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，所以当n＝k＋1时，命题成立．综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．由①②知，对n∈N*，原等式成立．题型 　用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．证明　①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．即·…·>.则当n＝k＋1时，·…··>·＝＝>＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式成立．应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.求证：当n≥1(n∈N*)时，(1＋2＋…＋n)≥n2.证明　(1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2.则当n＝k＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1).∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.这就是说当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立．题型 　归纳—猜想—证明如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．解　(1)设P1(x1，y1)，A1(a1,0)，则x1＝，即a1＝2x1，由y2＝3x得y1＝，由|A0P1|＝|OA1|得，＝a1，即＋a1＝a，即a1>0，所以a1＝2，同理可得a2＝6，a3＝12.(2)依题意，得xn＝，yn＝·，由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法予以证明：①当n＝1时，命题显然成立；②假设当n＝k时命题成立，即有an＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1)<ak(不符合题意，舍去)．即当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，命题成立. 归纳—猜想—证明的应用策略一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝＋－1且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．解　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.所以a1＝－1(a1>0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.所以a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式并整理，得a＋2ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝－(负值舍去)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．