2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第8讲

第8讲　n次独立重复试验与二项分布[考纲解读]　1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念．(重点)2.能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.  预测2020年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用.  题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型. 1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)．(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．1．概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件．(　　)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝(1－p)．(　　)(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．小题热身(1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　∵P(B|A)＝，P(A)＝且P(B|A)＝，∴P(AB)＝P(A)×P(B|A)＝×＝.(2)设随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)的值是(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　因为ξ～B，所以P(ξ＝3)＝C3·2＝.(3)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　两个零件恰好有一个一等品的概率为×＋×＝.(4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．答案　解析　所求概率P＝C·1·2＝.题型 　条件概率　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝＝.故选B.解法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.故选B.2．如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.答案　解析　由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝＝＝.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝＝＝，故P(B|A)＝＝＝.条件探究1　若将举例说明1中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解　P(A)＝＝，P(B)＝＝.又B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.条件探究2　将举例说明1条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．解　从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法．则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：提醒：要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2019·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)A．0.8   B．0.75  C．0.6   D．0.45答案　A解析　设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，所以题目所求为P(A|B)＝＝＝0.8.2．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.答案　解析　如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝，P(A|B)＝＝.题型 　相互独立事件的概率某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解　(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有即所以P(B)＝，P(C)＝.(2)有0个家庭回答正确的概率为P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝，有1个家庭回答正确的概率为P1＝P(A＋B＋C)＝××＋××＋××＝，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．解　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.∵事件A与B相互独立，A与相互独立，则A·表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝，依题意，A，B，C相互独立，，，相互独立，且AB，AC，BC，ABC彼此互斥．又P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，故“X≥2”的事件的概率为.题型 　独立重复试验与二项分布(2018·贵州铜仁模拟)医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有A，B，C三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75，能控制V指标的概率分别为0.6,0.5,0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．(1)求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．解　(1)A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)∵A有治疗效果的概率为PA＝0.5×0.6＝0.3，B有治疗效果的概率为PB＝0.6×0.5＝0.3，C有治疗效果的概率为PC＝0.75×0.4＝0.3，∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成3次独立重复试验，即X～B(3,0.3)．∵X的可能取值为0,1,2,3，∴P(X＝k)＝C×0.3k×(1－0.3)3－k，即P(X＝0) ＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027.故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027 1．独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．2．判断某概率模型是否服从二项分布Pn(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的．(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解　(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C×1×2＝，P(X＝20)＝C×2×1＝，P(X＝100)＝C×3×0＝，P(X＝－200)＝C×0×3＝.所以X的分布列为X1020100－200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.