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    2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分第二层级高考5个大题题题研诀窍立体几何问题重在“建”——建模、建系
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    2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版讲义:第一部分第二层级高考5个大题题题研诀窍立体几何问题重在“建”——建模、建系

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                  [技法指导——迁移搭桥]

    立体几何解答题建模、建系策略

    立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深.解决这类题目的原则是建模、建系.

    建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型.

    建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.

     

    [典例] (2018·全国卷)如图,在三棱锥P­ABC中,ABBC2PAPBPCAC4OAC的中点.

    (1)证明:PO平面ABC

    (2)若点M在棱BC上,且二面角M­PA­C30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

    [快审题] 

    求什么

    想什么

    证明线面垂直,想线面垂直成立的条件.

    求线面角的正弦值,想平面的法向量及直线的方向向量.

    给什么

    用什么

    给出边的长度,用勾股定理证线线垂直.

    给出二面角的大小,可求出点M的位置.

    差什么

    找什么

    差点M的坐标,利用垂直关系建立空间直角坐标系,找出平面PAM,平面PAC的法向量.

     

    [稳解题]

    (1)证明:因为PAPCAC4OAC的中点,

    所以POACPO2.

    连接OB,因为ABBCAC

    所以ABC为等腰直角三角形,

    OBACOBAC2.

    所以PO2OB2PB2

    所以POOB.

    又因为OBACO

    所以PO平面ABC.

    (2)O为坐标原点,

    的方向为x轴正方向,

    建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.

    由已知得O(0,0,0)B(2,0,0)

    A(0,-2,0)C(0,2,0)P(0,0,2)

    (0,2,2)

    取平面PAC的一个法向量(2,0,0)

    M(a,2a,0)(0<a2),则(a,4a,0)

    设平面PAM的法向量为n(xyz)

    ya,得z=-ax(a4)

    所以平面PAM的一个法向量为n((a4)a,-a)

    所以cosn〉=.

    由已知可得|cosn|cos 30°

    所以

    解得aa=-4(舍去)

    所以n.

    (0,2,-2)

    所以cosn

    .

    所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.

    [题后悟道]  利用法向量求解空间角的关键在于四破

    [针对训练]

    (2018·惠州第二次调研)如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,ABC60°PAPBPC2.

    (1)求证:平面PAB平面ABCD

    (2)PAPB,求二面角A­PC­D的余弦值.

    解:(1)证明:取AB的中点O,连接COPO

    四边形ABCD是边长为2的菱形,

    ABBC2.

    ∵∠ABC60°

    ∴△ABC是等边三角形,

    COABOC.

    PAPBPOAB1.

    PC2OP2OC2PC2COPO.

    ABPOOCO平面PAB.

    CO平面ABCD

    平面PAB平面ABCD.

    (2)PAPBPOAO.

    (1)知,平面PAB平面ABCDPO平面ABCD

    直线OCOBOP两两垂直.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.

    O(0,0,0)A(0,-1,0)C(0,0)D(,-2,0)P(00,1)

    (0,1,1)(0,-1)(0,2,0)

    设平面APC的法向量为m(x1y1z1)

    x11,得m(1,-)为平面APC的一个法向量,

    设平面PCD的法向量为n(x2y2z2)

    x21,得n(1,0)为平面PCD的一个法向量,

    cosmn〉=

    由图知,二面角A­PC­D为锐二面角,

    二面角A­PC­D的余弦值为.

     

     

                                                                    

    A——大题考点落实练

    1.如图,在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中,A1A底面ABCD,四边形ABCD为菱形,A1AAB2ABC60°EF分别是BCA1C的中点.

    (1)求异面直线EFAD所成角的余弦值;

    (2)M在线段A1D上,λ,若CM平面AEF,求实数λ的值.

    解:(1)因为A1A平面ABCDAE平面ABCDAD平面ABCD

    所以A1AAEA1AAD.

    在菱形ABCD中,ABC60°,连接AC

    ABC是等边三角形.

    因为EBC的中点,所以BCAE.

    因为BCAD,所以AEAD.

    A为坐标原点,AEx轴,ADy轴,AA1z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,00)C(1,0)D(0,2,0)A1(0,0,2)E(0,0)F(0,2,0)

    所以cos〉=

    所以异面直线EFAD所成角的余弦值为.

    (2)M(xyz),由于点M在线段A1D上,且λ

    所以λ,则(xyz2)λ(0,2,-2)

    解得M(0,2λ22λ),所以(2λ1,22λ)

    设平面AEF的一个法向量为n(x0y0z0)

    因为(0,0)

    所以

    y02,得z0=-1

    则平面AEF的一个法向量为n(0,2,-1)

    由于CM平面AEF,则n·0

    2(2λ1)(22λ)0,解得λ.

    2.(2019届高三·河北三市联考)如图,三棱柱ADE­BCG中,四边形ABCD是矩形,FEG的中点,EAABADAEEF1,平面ABGE平面ABCD.

    (1)求证:AF平面FBC

    (2)求二面角B­FC­D的正弦值.

    解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,

    BCAB

    又平面ABGE平面ABCD

    BC平面ABGE

    AF平面ABGE

    BCAF.

    AFB中,AFBFAB2

    AF2BF2AB2

    AFBF,又BFBCB

    AF平面FBC.

    (2)分别以ADABAE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0)D(1,0,0)C(1,2,0)E(0,0,1)B(0,2,0)F(0,1,1)(1,0,1)(0,2,0),设n1(xyz)为平面CDEF的法向量,

    x1,得z1,即n1(1,0,1)为平面CDEF的一个法向量,

    n2(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

    cosn1n2〉=

    二面角B­FC­D的正弦值为.

    3.如图,在四棱锥E­ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CDABBCAB,侧面ABE平面ABCD,且ABAEBE2BC2CD2,动点F在棱AE上,且EFλFA.

    (1)试探究λ的值,使CE平面BDF,并给予证明;

    (2)λ1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值.

    解:(1)λ时,CE平面BDF.证明如下:

    连接ACBD于点G,连接GF

    CDABAB2CD

    EFFAGFCE

    CE平面BDFGF平面BDF

    CE平面BDF.

    (2)AB的中点O,连接EO,则EOAB

    平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB

    EO平面ABCD

    连接DOBOCD,且BOCD1

    四边形BODC为平行四边形,BCDO

    BCABABOD

    ODOAOE两两垂直,以O为坐标原点,ODOAOE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O­xyz

    O(0,0,0)A(0,1,0)B(0,-1,0)D(1,0,0)C(1,-10)E(0,0)

    λ1时,有F

    (1,1,0)(1,1)

    设平面BDF的法向量为n(xyz)

    z,得y=-1x1

    n(1,-1)为平面BDF的一个法向量,

    设直线CE与平面BDF所成的角为θ

    sin θ|cosn|

    故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.

    4(2018·成都一诊)如图,在边长为5的菱形ABCD中,AC6,现沿对角线ACADC翻折到APC的位置得到四面体P­ABC,如图所示.已知PB4.

    (1)求证:平面PAC平面ABC

    (2)Q是线段AP上的点,且,求二面角Q­BC­A的余弦值.

    解:(1)证明:取AC的中点O,连接POBO.

    四边形ABCD是菱形,

    PAPCPOAC.

    DC5AC6

    OC3POOB4

    PB4

    PO2OB2PB2

    POOB.

    OBACOPO平面ABC.

    PO平面PAC平面PAC平面ABC.

    (2)ABBCBOAC.

    OBOCOP两两垂直.

    O为坐标原点,OBOCOP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.

    B(4,0,0)C(0,3,0)P(0,0,4)A(0,-3,0)

    设点Q(xyz)

    ,得Q.

    (4,3,0).

    n1(x1y1z1)为平面BCQ的法向量,

    x13,则n1(3,4,15)

    取平面ABC的一个法向量n2(0,0,1)

    cosn1n2〉=

    二面角Q­BC­A为锐角,

    二面角Q­BC­A的余弦值为.

    B——大题专攻补短练

    1.在三棱锥P­ABC中,PAPBPC2BC1ACACBC.

    (1)求点B到平面PAC的距离.

    (2)求异面直线PABC所成角的余弦值.

    解:(1)C为坐标原点,CAx轴,CBy轴,过C作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,取AB的中点D,连接PDDC

    因为ACB为直角三角形且ACBC1

    所以AB2

    所以PAB为正三角形,

    所以PDABPD.

    PDC中,PC2PDDC1

    所以PC2PD2DC2

    所以PDDC,又ABDCD

    所以PD平面ABC.

    A(0,0)B(0,1,0)DPC(0,0,0)(0,0)(0,1,0)

    设平面PAC的法向量n(xyz)

    y2,得n(0,2,-1)为平面PAC的一个法向量,

    所以点B到平面PAC的距离

    d.

    (2)因为(0,-1,0)

    设异面直线PABC所成角为θ

    cos θ.

    所以异面直线PABC所成角的余弦值为.

    2.已知四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是梯形,BCADABAD,且ABBC1AD2,顶点P在平面ABCD内的射影HAD上,PAPD.

    (1)求证:平面PAB平面PAD

    (2)若直线ACPD所成角为60°,求二面角A­PC­D的余弦值.

    解:(1)证明:PH平面ABCDAB平面ABCD

    PHAB.

    ABADADPHHAD平面PADPH平面PAD

    AB平面PAD.

    AB平面PAB平面PAB平面PAD.

    (2)A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz

    PH平面ABCD

    zPH.

    A(0,0,0)C(1,1,0)D(0,2,0),设AHaPHh(0<a<2h>0)

    P(0ah)

    (0ah)(0a2h)(1,1,0)

    PAPD·a(a2)h20.

    ACPD所成角为60°

    |cos|

    (a2)2h2(a2)(a1)0

    0<a<2a1.h>0h1P(0,1,1)

    (0,1,1)(1,1,0)(1,0,-1)(1,-1,0)

    设平面APC的法向量为n(x1y1z1)

    x11,得y1=-1z11

    平面APC的一个法向量为n(1,-1,1)

    设平面DPC的法向量为m(x2y2z2)

    x21,得y21z21

    平面DPC的一个法向量为m(1,1,1)

    cosmn〉=.

    二面角A­PC­D的平面角为钝角,

    二面角A­PC­D的余弦值为-.

    3(2018·西安质检)如图,四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,ACBDOA1O底面ABCDAB2AA13.

    (1)证明:平面A1CO平面BB1D1D

    (2)BAD60°,求二面角B­OB1­C的余弦值.

    解:(1)证明:A1O平面ABCDBD平面ABCD.

    A1OBD.

    四边形ABCD是菱形,

    COBD.

    A1OCOO

    BD平面A1CO.

    BD平面BB1D1D

    平面A1CO平面BB1D1D.

    (2)A1O平面ABCDCOBDOBOCOA1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

    AB2AA13BAD60°

    OBOD1OAOC

    OA1.

    O(0,0,0)B(1,0,0)C(00)A(0,-0)A1(0,0)

    (1,0,0)(0)

    (1)(00)

    设平面OBB1的法向量为n(x1y1z1)

    y1,得n(0,-1)是平面OBB1的一个法向量.

    设平面OCB1的法向量m(x2y2z2)

    z2=-1,得m(0,-1)为平面OCB1的一个法向量,

    cosnm〉=

    由图可知二面角B­OB1­C是锐二面角,

    二面角B­OB1­C的余弦值为.

    4(2018·潍坊统考)在平行四边形PABC中,PA4PC2P45°DPA的中点(如图1).将PCD沿CD折起到图2P1CD的位置,得到四棱锥P1­ABCD.

    (1)PCD沿CD折起的过程中,CD平面P1DA是否成立?请证明你的结论.

    (2)P1D与平面ABCD所成的角为60°,且P1DA为锐角三角形,求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值.

    解:(1)PCD沿CD折起过程中,CD平面P1DA成立.证明如下:

    DPA的中点,PA4DPDA2

    PDC中,由余弦定理得,

    CD2PC2PD22PC·PD·cos 45°842×2×2×4

    CD2PD

    CD2DP28PC2

    ∴△PDC为等腰直角三角形且CDPA

    CDDACDP1DP1DADD

    CD平面P1DA.

    (2)(1)CD平面P1DACD平面ABCD

    平面P1DA平面ABCD

    ∵△P1DA为锐角三角形,P1在平面ABCD内的射影必在棱AD上,记为O,连接P1OP1O平面ABCD

    P1DAP1D与平面ABCD所成的角,

    ∴∠P1DA60°

    DP1DA2

    ∴△P1DA为等边三角形,OAD的中点,

    故以O为坐标原点,过点O且与CD平行的直线为x轴,DA所在直线为y轴,OP1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    x轴与BC交于点M

    DAP1A2OP1

    易知ODOACM1

    BM3

    P1(0,0)D(0,-1,0)C(2,-1,0)B(2,3,0)(2,0,0)(0,-4,0)(2,-1,-)

    CD平面P1DA

    可取平面P1DA的一个法向量n1(1,0,0)

    设平面P1BC的法向量n2(x2y2z2)

    z21,则n2

    设平面P1AD和平面P1BC所成的角为θ

    由图易知θ为锐角,

    cos θ|cosn1n2|.

    平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值为.

     

     

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