2019版高中数学二轮复习教师用书：专题七3.2最值与范围问题

第二课时　最值与范围问题

考向一　圆锥曲线中的最值问题

【典例】 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2．

(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；

(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

[思路分析]

[规范解答]　(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意；所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，                            1分

代入方程y2＝4x得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，

∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k，

∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，  3分

∵AB中点的横坐标为1，

∴AB中点的坐标为，

∴AB的中垂线方程为

y＝－(x－1)＋＝－x＋，   4分

∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2，得k＝，

∴直线AB的方程为y＝x－.  5分

(2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－x＋，

∴M点的坐标为(3,0)，  6分

∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，

∴M到直线AB的距离d＝＝， 7分

由得y2－ky＋2－k2＝0，

∴y1＋y2＝，y1·y2＝，  8分

|AB|＝|y1－y2|＝，  9分

∴S△MAB＝4 ，

设 ＝t，则0<t<1，

S＝4t(2－t2)＝－4t3＋8t，  10分

S′＝－12t2＋8，由S′＝0，得t＝，

即k＝±时Smax＝，  11分

此时直线AB的方程为3x±y－1＝0.  12分

(1)易漏掉AB斜率不存在的情况；

(2)求面积最值时注意换元法的运用，同时注意换元后新元的取值范围．

[技法总结]　最值问题的求解思路

(1)建立目标函数，然后根据目标函数的特征选择相应的方法进行求解．

(2)构建不等式，利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，且大多会用到基本不等式．

[变式提升]

1．(2018·天水二模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，椭圆E的一个焦点为(，0)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点．求|AB|的最大值．

解　(1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．

则|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

∴a＝2，c＝，∴b2＝1，

∴椭圆E的方程为＋y2＝1．

(2)当直线l的斜率存在时，

设l：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0．

由Δ＞0得4k2＞1．

由x1＋x2＝－，x1x2＝得

|AB|＝

＝2 ．

设t＝，则0＜t＜．

∴|AB|＝2

＝2 ≤．

当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2＜，

∴|AB|的最大值．

2．(2018·攀枝花三模)已知椭圆＋y2＝1的右焦点为F，坐标原点为O.椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．

(1)求点M的横坐标；

(2)当∠OMF最大时，求△MAB的面积．

解　(1)易知F(2,0)，设AB所在直线为y＝k(x－2)(k≠0), A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组

化简得(5k2＋1)x2－20k2x＋(20k2－5)＝0，

由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，

则N，

从而ON所在直线方程为y＝－x，

又FM所在直线方程为y＝－(x－2)，联立两直线方程解得xM＝．

(2)方法一　由(1)得M，则

＝，＝，

则cos ∠OMF＝＝＝

＝＝≥ ，

当cos ∠OMF取得最小值时，∠OMF最大，

此时x1＋x2＝2，x1x2＝－，

|AB|＝|x1－x2|＝× ＝，

|FM|＝＝，

从而S△MAB＝|AB|·|FM|＝．

方法二　由(1)得M，设直线x＝与x轴的交点为点G，

则tan ∠OMG＝＝＝5|k|，

tan ∠FMG＝＝＝|k|，

则tan ∠OMF＝tan(∠OMG－∠FMG)＝＝≤

，

当tan ∠OMF取得最大值时，∠OMF最大，

此时x1＋x2＝2，x1x2＝－，

|AB|＝|x1－x2|＝× ＝，

|FM|＝ ＝，

从而S△MAB＝|AB|·|FM|＝．

考向二　圆锥曲线中的范围问题

【典例】 已知A、B、C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆M的方程；

(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数t的取值范围．

解　(1)∵|BC|＝2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|＝|AC|．

∵∠OCA＝90°，∴C(，)．

由题意知a＝2，

则椭圆M的方程为＋＝1，

将点C的坐标代入得＋＝1，解得b2＝4．

∴椭圆M的方程为＋＝1．

(2)设过点(0，t)的直线的斜率为k，当k＝0时，显然－2<t<2；

当k≠0时，设直线l：y＝kx＋t，联立消去y得

(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，

由Δ>0可得，t2<4＋12k2.①

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为H(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝kx0＋t＝，

∴H．

∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即kDH＝－．

∴＝－，化简得t＝1＋3k2，②

由①②得，1<t<4.  综上，t∈(－2,4)．

[技法总结]　圆锥曲线中取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

[变式提升]

3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范围．

解　(1)由题意，得⇒

故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．

(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．

①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N，

∴＝，＝，故·＝．

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，

由消去y得，

(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，

则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2

＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)

＝(1＋k2)x1x2＋(1＋k2)(x1＋x2)＋1＋k2，

代入可得·＝＋＋1＋k2＝＝－，

由k2≥0可得·∈．

综上，·∈．