2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题六第六讲专题提能——优化思路上高度全面清障把漏补

第六讲 专题提能——优化思路上高度，全面清障把漏补


因作函数图象不规范而失误

[例1]　定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝－2(x－1)2，若函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在R上恰好有六个零点，则实数a的取值范围是________．
[解析]　令x＝－1，得f(1)＝f(－1)－f(1)，因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以f(1)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数．
令g(x)＝loga(|x|＋1)，根据题意作出函数y＝f(x)和g(x)＝loga(|x|＋1)的部分大致图象，如图所示，

因为y＝f(x)和y＝g(x)均为偶函数，
所以y＝f(x)和y＝g(x)的图象在(0，＋∞)上恰有三个交点，
当函数g(x)＝loga(|x|＋1)的图象过点(2，－2)时，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在(0，＋∞)上恰有两个交点，从而函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上恰有两个零点，由loga3＝－2得a＝；
当g(x)＝loga(|x|＋1)的图象过点(4，－2)时，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在(0，＋∞)上恰有四个交点，从而函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上恰有四个零点，由loga5＝－2得a＝.
综上可知，所求实数a的取值范围为.
[答案]　
[微评]　本题将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，运用数形结合的思想求解，此方法较为常规，本题的难点在于对函数f(x)的周期的推导．本题极易因作图不准确致误，为避免失误，作图时一定要明确函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性等，并找出关键点，注意“草图不草”．另外，需重点掌握周期函数与绝对值函数的图象的画法．


因不会挖掘函数的性质而解题受阻

[例2]　(2018·广东惠州二调)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　　B.
C．(0，＋∞) D．(0,1)
[解析]　易知函数y＝－ln(－x)(x0)的图象关于原点对称，依题意，可得函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2.
当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，
因为y＝ln x的导数为y′＝，
所以
解得可得切线的斜率为1.
由图象(图略)可知当k∈(0,1)时，函数y＝ln x的图象与直线y＝kx－1有2个交点，即原函数f(x)的图象上有2对关于原点对称的点，故选D.
[答案]　D
[微评]　本题的解题关键是运用函数的对称性转化已知条件“函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对”，对考生的转化与化归能力及对函数性质的掌握程度要求较高，极易出错．另外，解函数的对称问题时易因混淆自对称与互对称致错，注意：(1)若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＋f(－x)＝0；(2)若两函数的图象关于原点对称，且其中一个函数的解析式为y＝f(x)，则另一个函数的解析式为y＝－f(－x)．

因对双变量问题非等价转化而失分
[例3]　已知函数f(x)＝exsin x－cos x，g(x)＝xcos x－ex，其中e是自然对数的底数．
(1)判断函数y＝f(x)在内零点的个数，并说明理由；
(2)∀x1∈，∃x2∈，使得不等式f(x1)＋g(x2)≥m成立，试求实数m的取值范围．
[解]　(1)函数y＝f(x)在内零点的个数为1，理由如下：
f′(x)＝exsin x＋excos x＋sin x，
当0g(x2)恒成立⇔f(x)min>g(x)max；
③任意的x2∈[a，b]，总存在x1∈[a，b]，使f(x1)>g(x2)成立⇔f(x)max>g(x)max；
④任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[a，b]，使f(x1)>g(x2)成立⇔f(x)min>g(x)min；
⑤任意的x1，x2∈[a，b]，不等式|f(x1)－f(x2)|0)都是“影子函数”，但F(x)＝f(x)·g(x)＝1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0，＋∞)，存在无数多个x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③错误．综上，应选B.
[答案]　(1)C　(2)C　(3)B
[微评]　本例(1)(2)(3)分别采用“特殊值”、“特殊点”、“特殊函数”解决问题，不仅提高了做题速度而且大大提高了答题的正确率．

构造法——在函数、导数与不等式综合问题中的应用

根据题目特点构造函数，然后借助函数的单调性比较大小或解不等式是本专题常用方法之一．
[例2]　(1)已知m，n∈(2，e)，且－＜ln，则(　　)
A．m＞n B．m＜n
C．m＞2＋ D．m，n的大小关系不确定
(2)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为(　　)
A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[解析]　(1)由不等式可得－＜ln m－ln n，即＋ln n＜＋ln m．设f(x)＝＋ln x(x∈(2，e))，则f′(x)＝－＋＝.因为x∈(2，e)，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)＜f(m)，所以n＜m.
(2)因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于x＝2对称．所以f(0)＝f(4)＝1.设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝.又f′(x)＜f(x)，所以g′(x)＜0(x∈R)，所以函数g(x)在定义域上单调递减．因为f(x)＜ex⇔＜1，而g(0)＝＝1，所以f(x)＜ex⇔g(x)＜g(0)，所以x＞0.
[答案]　(1)A　(2)B
[微评]　(1)本例(1)(2)分别构造函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝，然后利用导数研究函数的单调性，进而求解．
(2)解决与导数有关的不等式问题，多结合已知和所解不等式特征构造相应的函数．求导的法则是构造函数的依据，需要熟记一些常用的结构，如：
①xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′，xf′(x)－f(x)→′；
②f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′，f′(x)－f(x)→′等．

(一)数形结合思想——在求解不等式中的应用
当所求解的不等式有明显的几何意义或本身由函数构成，且函数对应的图象容易画出时，我们可以借助图形的直观性，直接得到这类不等式的解集，这种求解不等式的方法叫作图象法．
[例1]　(1)不等式≤x＋b恒成立，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－∞，－－1]　　　 B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[－－1，－1]
(2)(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝ex＋e2－x，若关于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为(　　)
A．1 B．2e
C．e2＋1 D．e3＋
[解析]　(1)设y＝＝，整理得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，表示以A(1,0)为圆心，半径为1的上半圆；而y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线．如图所示，要使不等式恒成立，则直线y＝x＋b在半圆的上方，即圆心到直线的距离不小于圆的半径，故≥1，解得b≥－1或b≤－－1.而当b≤－－1时，直线y＝x＋b在半圆的下方，所以不满足条件．所以实数b的取值范围是[－1，＋∞)．故选C.
(2)因为f(x)＝ex＋e2－x>0，所以由[f(x)]2－af(x)≤0可得00)，画出函数g(t)的大致图象，如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0G(2)＝e2－6>0，
∴u′(x)>0在(2，＋∞)上恒成立，
∴u(x)>u(2)＝e2－6>0，∴当m>2时，g(m)>0.
又g(x2)＝0，g(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增，
∴m>x2.
故x1＋ln4.001，即m＝的近似代替值大于m，故选A.
5．(2018·陕西模拟)对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．
C. D．[2,3]
解析：选D　∵f′(x)＝ex－1＋1>0，∴f(x)＝ex－1＋x－2是增函数，又f(1)＝0，∴函数f(x)的零点为x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g(x)＝x2－ax－a＋3在区间[0,2]上有零点，由g(x)＝0得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，设x＋1＝t(1≤t≤3)，则a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故选D.
6．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)0.故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a，均有f(x)≥0；
当x>0时，f(x)≥0等价于a≤，
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，
则h′(x)＝xex－ex＋1，h″(x)＝xex>0，
知h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，知h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
由洛必达法则知， ＝＝ ＝，故a≤.综上，知a的取值范围为.