2020届高考数学二轮教师用书：第三章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　.(2)商数关系：　＝tan α　.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α　－sin α　　－sin α　　sin α　　cos α　　cos α　余弦cos α　－cos α　　cos α　　－cos α　　sin α　　－sin α　正切tan α　tan α　　－tan α　　－tan α　  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限　对于±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　 )(2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　 )(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　 )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　 )(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　 )答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×[小题查验]1．sin 2025°的值为(　　 )A．－　　　　　　　 B．－C.  D.解析：A　[sin 2025°＝sin(5×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－]．2．(2019·呼和浩特市模拟)若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　 )A.  B．－C.  D．－解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.故选D.]3．(2019·洛阳市模拟)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则cos α＝(　　 )A.  B．－C．－  D.解析：B　[∵sin(π－α)＝sin α＝，且≤α≤π，则cos α＝－＝－，故选B.]4．(教材改编)已知sin α＝－，则tan α＝　________　.答案：或－5.＝　________　.解析：原式＝＝＝－1.答案：－1考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式)[母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.(1)求tan α的值；(2)把用tan α表示出来，并求其值．[破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值．[解析]　(1)法一：联立方程由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴∴tan α＝－.法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin  αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.∵sin αcos α＝－＜0，且0＜α＜π，∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0.∴sin α－cos α＝.由得∴tan α＝－.(2)＝＝＝.∵tan α＝－，∴＝＝＝－.[子题1]　将母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 求 sin α＋cos α的值．解：法一：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2  α＝，易知cos α＜0，∴cos α＝－， sin α＝，故 sin α＋cos α＝－.法二：∵α是三角形的内角且tan α＝－，∴α为第二象限角，∴sin α＝， cos α＝－，∴sin α＋cos α＝－.[子题2]　保持母题条件不变，求：(1)；(2)sin2α＋2sin αcos α的值．解：由例题可知：tan α＝－.(1)＝＝＝.(2)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点二　三角函数的诱导公式(自主练透)[题组集训]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝　______　.解析：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝×＋×＋1＝2.答案：22．已知cos＝，则sin＝　________　.解析：∵＋＝－，所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.答案：－3．设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝　________　.解析：∵f(α)＝＝＝＝(1＋2sin α≠0)，∴f＝＝＝＝.答案：4．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝　________　.解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝＝，∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.答案：－(1)诱导公式应用的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．①常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．②常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题．考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研)数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算．[典例]　(1)已知tan＝，则tan＝　________　.(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝　________　.[解析]　(1)∵＋＝π，∴tan＝tan＝－tan＝－.(2)因为θ是第四象限角，且sin ＝，所以θ＋是第一象限角，所以cos ＝， 所以sin ＝sin ＝－sin ＝－cos ＝－，cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝所以tan ＝＝－.[答案]　(1)－　(2)－(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．[跟踪训练](1)已知sin＝，则cos＝　________　.(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　 )A.　　　　　　　　 B.C．0  D．－解析：(1)∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f＝f＝f＝f＝f＋sinπ.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0＋＝.答案：(1)　(2)A1．(2020·赤峰市一模)已知sin ＝，α∈(0，π)，则 sin (π＋2α)等 于(　　 )A.　　　　　　　　 B．－C.  D．－解析：D　[由sin ＝，可得cos α＝，∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝，∴sin (π＋2α)＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－×2×＝－.故选D.]2．(2020·沈阳市一模)已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　 )A.  B.C.  D.解析：C　[∵tan θ＝2，则＋sin2θ＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝.故选C.]3．(2020·郑州市模拟)等于(　　)A．sin 2－cos 2  B．sin 2＋cos 2C．±(sin 2－cos 2)  D．cos 2－sin 2解析：A　[＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.]4．若＝3，则cos α－2sin α＝(　　 )A．－1  B．1C．－  D．－1或－解析：C　[若＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝，∴cos α＝3sin α－1＝，∴cos α－2sin α＝－，故选C.]5．已知sin ＋3cos (π－θ)＝sin (－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝(　　 )A.  B.C.  D.解析：D　[∵sin ＋3cos (π－θ)＝cos θ－3cos θ＝－2cos θ＝sin (－θ)＝－sin θ，∴tan θ＝2，则sin θcos θ＋cos 2θ＝＝＝，故选D.]6．(2020·张掖市模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则tan θ＝　________　.解析：∵已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，∴1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－，∴sin θ＝，cos θ＝－，则tan θ＝＝－答案：－7．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝　________　.解析：由sin2x＋cos2x＝1，即2＋2＝1，得m＝0或m＝8.又x∈，∴sin x<0，cos x>0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，此时tan x＝－；当m＝8时，sin x＝，cos x＝－(舍去)，综上知：tan x＝－.答案：－8．已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin 的值是　________　.解析：cos ＝cos ＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.答案：09．求值：cos 375°＋sin 375°解：原式＝sin(45°＋375°)＝sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝.10．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．解析：∵sin α＝>0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，原式＝＝.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.