2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一　4第4讲　不等式

第4讲　不等式

不等式的解法
[核心提炼]
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(0(0，则的最小值为________．
(2)(2019·金丽衢十二校高考二模)设A＝{(x，y)|x2－a(2x＋y)＋4a2＝0}，B＝{(x，y)||y|≥b|x|}，对任意的非空实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为________．
【解析】　(1)因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当时取等号，故的最小值是4.
(2)由x2－a(2x＋y)＋4a2＝0得y＝x2－2x＋4a，
则＝|＋－2|，
当ax＞0时，＋≥2＝4，
所以|＋－2|≥|4－2|＝2，即≥2，
当ax＜0时，＋≤－2＝－4，
所以|＋－2|≥|－4－2|＝6，即≥6，
因为对任意实数a，均有A⊆B成立，
即|y|≥b|x|恒成立，即≥b恒成立，
所以b≤2，
故答案为2.
【答案】　(1)4　(2)2

利用不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．　
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
[对点训练]
1．(2019·温州市瑞安市高考模拟)若x＞0，y＞0，则＋的最小值为________．
解析：设＝t＞0，则＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，
当且仅当t＝＝时取等号．
故答案为：－.
答案：－
2．(2018·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
解析：因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝asin 60°＋csin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
答案：9

专题强化训练
1．(2019·金华十校联考)不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是(　　)
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
解析：选A.由(m－2)(m＋3)＜0得－3＜m＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m＜2，
则不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集，
则满足条件是－3＜m＜0.
故选A.
2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以x＋3y＝1，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时，取等号．
4．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B.

5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝(a0⇒aa>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)
A．log3a>0 B．3a－b
log31，
所以a>1，又b>a>0，a＋b＝1，所以a0，则－t2＋t≤3，t2－t＋3≥0，解得t>0，所以t≥－2，即原不等式等价于或，解得x≤2.
答案：(－∞，2]
15．(2019·宁波市九校联考)已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为，则实数a＝________．
解析：f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a)－(x－－a)|＋2x－2a
＝||＋2x－2a
＝＋2x－2a
≥2－2a
＝4－2a.
当且仅当＝2x，即x＝1时，上式等号成立．
由4－2a＝，解得a＝.
答案：
16．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x2＋|x－a|＋3a|≤2对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：|x2＋|x－a|＋3a|≤2化为－2－x2≤|x－a|＋3a≤2－x2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a，3a)的V字型在x∈[－1，1]时，始终夹在y＝－2－x2，y＝2－x2之间，如图1，图2所示，

为两种临界状态，首先就是图1 的临界状态，此时V字形右边边界y＝x＋2a与y＝－2－x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2＋x＋2a＋2＝0，此时Δ＝0⇒1－4(2a＋2)＝0⇒a＝－，而图2的临界状态显然a＝0，
综上得，实数a的取值范围为.
答案：
17．(2019·温州模拟)已知a，b，c∈R，若|acos2x＋bsin x＋c|≤1对x∈R成立，则|asin x＋b|的最大值为________．
解析：由题意，设t＝sin x，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1恒成立，
不妨设t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1，则|b－c|≤1，
若a，b同号，则|asin x＋b|的最大值为
|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；
若a，b异号，则|asin x＋b|的最大值为
|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；
综上所述，|asin x＋b|的最大值为2，
故答案为2.
答案：2
18．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝(a≠0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈[0，1]时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)要使函数有意义，需4－|ax－2|≥0，即
|ax－2|≤4，|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6.
当a>0时，函数f(x)的定义域为{x|－≤x≤}；
当a1；
(2)对任意的b∈(0，1)，当x∈(1，2)时，f(x)>恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝>1⇔x2＋1